Vyriešiť 2x+y=1text{and}x-y=-4

$$2 x + y = 1 \text { and } x - y = - 4$$

Riešenie pre x,y

$$x=-1$$

$$y=3$$

Postup použitia dosadenia

Ak chcete dvojicu rovníc riešiť pomocou dosádzania, najskôr vyriešte jednu premennú v jednej z rovníc. Výsledok tejto premennej potom dosaďte do druhej rovnice.

$$2x+y=1,x-y=-4$$

Vyberte jednu z rovníc a vypočítajte hodnotu premennej x tak, že na ľavej strane rovnice budete mať len premennú x.

$$2x+y=1$$

Odčítajte hodnotu y od oboch strán rovnice.

$$2x=-y+1$$

Vydeľte obe strany hodnotou 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+1\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{2} číslom -y+1.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$$

Dosaďte \frac{-y+1}{2} za x v druhej rovnici x-y=-4.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}-y=-4$$

Prirátajte -\frac{y}{2} ku -y.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}=-4$$

Odčítajte hodnotu \frac{1}{2} od oboch strán rovnice.

$$-\frac{3}{2}y=-\frac{9}{2}$$

Vydeľte obe strany rovnice hodnotou -\frac{3}{2}, čo je to isté ako pri vynásobení oboch strán prevráteným zlomkom.

$$y=3$$

V rovnici x=-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2} dosaďte y za premennú 3. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$x=-\frac{1}{2}\times 3+\frac{1}{2}$$

Vynásobte číslo -\frac{1}{2} číslom 3.

$$x=\frac{-3+1}{2}$$

Prirátajte \frac{1}{2} ku -\frac{3}{2} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x=-1$$

Systém je vyriešený.

$$x=-1,y=3$$

Postup použitia matíc

Matice prepíšte do štandardného tvaru a pomocou matíc potom vyriešte sústavu rovníc.

$$2x+y=1,x-y=-4$$

Napíšte rovnice v tvare matíc.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnicu zľava inverznou maticou matice \left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Súčinom matice s jej inverznou maticou vznikne jednotková matica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na ľavej strane znamienka rovnosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Inverznou maticou matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovú rovnicu preto možno prepísať ako násobenie matíc.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&\frac{2}{2\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\left(-4\right)\\\frac{1}{3}-\frac{2}{3}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Extrahujte prvky matice x a y.

$$x=-1,y=3$$

Postup použitia eliminácie

Ak chcete rovnicu vyriešiť elimináciou, koeficienty jednej z premenných musia byť v obidvoch rovniciach rovnaké, aby sa pri odčítaní jednej rovnice od druhej premenná vykrátila.

$$2x+y=1,x-y=-4$$

Ak chcete, aby boli členy 2x a x rovnaké, všetky členy na oboch stranách prvej rovnice vynásobte číslom 1 a všetky členy na oboch stranách druhej rovnice číslom 2.

$$2x+y=1,2x+2\left(-1\right)y=2\left(-4\right)$$

Zjednodušte.

$$2x+y=1,2x-2y=-8$$

Odčítajte rovnicu 2x-2y=-8 od rovnice 2x+y=1 tak, že odčítate rovnaké členy na každej strane rovnice.

$$2x-2x+y+2y=1+8$$

Prirátajte 2x ku -2x. Členy 2x a -2x sa vykrátia, pričom sa rovnica ponechá len s jednou premennou, ktorú je možné vyriešiť.

$$y+2y=1+8$$

Prirátajte y ku 2y.

$$3y=1+8$$

Prirátajte 1 ku 8.

$$3y=9$$

Vydeľte obe strany hodnotou 3.

$$y=3$$

V rovnici x-y=-4 dosaďte y za premennú 3. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$x-3=-4$$

Prirátajte 3 ku obom stranám rovnice.

$$x=-1$$

Systém je vyriešený.

$$x=-1,y=3$$