Vyriešiť 2x+3y=6quadtext{and}quad6x-5y=4

$$2 x + 3 y = 6 \quad \text { and } \quad 6 x - 5 y = 4$$

Riešenie pre x,y

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

$$y=1$$

Postup použitia dosadenia

Ak chcete dvojicu rovníc riešiť pomocou dosádzania, najskôr vyriešte jednu premennú v jednej z rovníc. Výsledok tejto premennej potom dosaďte do druhej rovnice.

$$2x+3y=6,6x-5y=4$$

Vyberte jednu z rovníc a vypočítajte hodnotu premennej x tak, že na ľavej strane rovnice budete mať len premennú x.

$$2x+3y=6$$

Odčítajte hodnotu 3y od oboch strán rovnice.

$$2x=-3y+6$$

Vydeľte obe strany hodnotou 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+6\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{2} číslom -3y+6.

$$x=-\frac{3}{2}y+3$$

Dosaďte -\frac{3y}{2}+3 za x v druhej rovnici 6x-5y=4.

$$6\left(-\frac{3}{2}y+3\right)-5y=4$$

Vynásobte číslo 6 číslom -\frac{3y}{2}+3.

$$-9y+18-5y=4$$

Prirátajte -9y ku -5y.

$$-14y+18=4$$

Odčítajte hodnotu 18 od oboch strán rovnice.

$$-14y=-14$$

Vydeľte obe strany hodnotou -14.

$$y=1$$

V rovnici x=-\frac{3}{2}y+3 dosaďte y za premennú 1. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$x=-\frac{3}{2}+3$$

Prirátajte 3 ku -\frac{3}{2}.

$$x=\frac{3}{2}$$

Systém je vyriešený.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$

Postup použitia matíc

Matice prepíšte do štandardného tvaru a pomocou matíc potom vyriešte sústavu rovníc.

$$2x+3y=6,6x-5y=4$$

Napíšte rovnice v tvare matíc.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnicu zľava inverznou maticou matice \left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Súčinom matice s jej inverznou maticou vznikne jednotková matica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na ľavej strane znamienka rovnosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Inverznou maticou matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovú rovnicu preto možno prepísať ako násobenie matíc.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2\left(-5\right)-3\times 6}&-\frac{3}{2\left(-5\right)-3\times 6}\\-\frac{6}{2\left(-5\right)-3\times 6}&\frac{2}{2\left(-5\right)-3\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{28}&\frac{3}{28}\\\frac{3}{14}&-\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{28}\times 6+\frac{3}{28}\times 4\\\frac{3}{14}\times 6-\frac{1}{14}\times 4\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\1\end{matrix}\right)$$

Extrahujte prvky matice x a y.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$

Postup použitia eliminácie

Ak chcete rovnicu vyriešiť elimináciou, koeficienty jednej z premenných musia byť v obidvoch rovniciach rovnaké, aby sa pri odčítaní jednej rovnice od druhej premenná vykrátila.

$$2x+3y=6,6x-5y=4$$

Ak chcete, aby boli členy 2x a 6x rovnaké, všetky členy na oboch stranách prvej rovnice vynásobte číslom 6 a všetky členy na oboch stranách druhej rovnice číslom 2.

$$6\times 2x+6\times 3y=6\times 6,2\times 6x+2\left(-5\right)y=2\times 4$$

Zjednodušte.

$$12x+18y=36,12x-10y=8$$

Odčítajte rovnicu 12x-10y=8 od rovnice 12x+18y=36 tak, že odčítate rovnaké členy na každej strane rovnice.

$$12x-12x+18y+10y=36-8$$

Prirátajte 12x ku -12x. Členy 12x a -12x sa vykrátia, pričom sa rovnica ponechá len s jednou premennou, ktorú je možné vyriešiť.

$$18y+10y=36-8$$

Prirátajte 18y ku 10y.

$$28y=36-8$$

Prirátajte 36 ku -8.

$$28y=28$$

Vydeľte obe strany hodnotou 28.

$$y=1$$

V rovnici 6x-5y=4 dosaďte y za premennú 1. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$6x-5=4$$

Prirátajte 5 ku obom stranám rovnice.

$$6x=9$$

Vydeľte obe strany hodnotou 6.

$$x=\frac{3}{2}$$

Systém je vyriešený.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$