Vyriešiť 2x+3y=1text{and}2x+5y=-1

$$2 x + 3 y = 1 \text { and } 2 x + 5 y = - 1$$

Riešenie pre x,y

$$x=2$$

$$y=-1$$

Postup použitia dosadenia

Ak chcete dvojicu rovníc riešiť pomocou dosádzania, najskôr vyriešte jednu premennú v jednej z rovníc. Výsledok tejto premennej potom dosaďte do druhej rovnice.

$$2x+3y=1,2x+5y=-1$$

Vyberte jednu z rovníc a vypočítajte hodnotu premennej x tak, že na ľavej strane rovnice budete mať len premennú x.

$$2x+3y=1$$

Odčítajte hodnotu 3y od oboch strán rovnice.

$$2x=-3y+1$$

Vydeľte obe strany hodnotou 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+1\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{2} číslom -3y+1.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}$$

Dosaďte \frac{-3y+1}{2} za x v druhej rovnici 2x+5y=-1.

$$2\left(-\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}\right)+5y=-1$$

Vynásobte číslo 2 číslom \frac{-3y+1}{2}.

$$-3y+1+5y=-1$$

Prirátajte -3y ku 5y.

$$2y+1=-1$$

Odčítajte hodnotu 1 od oboch strán rovnice.

$$2y=-2$$

Vydeľte obe strany hodnotou 2.

$$y=-1$$

V rovnici x=-\frac{3}{2}y+\frac{1}{2} dosaďte y za premennú -1. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$x=-\frac{3}{2}\left(-1\right)+\frac{1}{2}$$

Vynásobte číslo -\frac{3}{2} číslom -1.

$$x=\frac{3+1}{2}$$

Prirátajte \frac{1}{2} ku \frac{3}{2} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x=2$$

Systém je vyriešený.

$$x=2,y=-1$$

Postup použitia matíc

Matice prepíšte do štandardného tvaru a pomocou matíc potom vyriešte sústavu rovníc.

$$2x+3y=1,2x+5y=-1$$

Napíšte rovnice v tvare matíc.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnicu zľava inverznou maticou matice \left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Súčinom matice s jej inverznou maticou vznikne jednotková matica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na ľavej strane znamienka rovnosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Inverznou maticou matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovú rovnicu preto možno prepísať ako násobenie matíc.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-3\times 2}&-\frac{3}{2\times 5-3\times 2}\\-\frac{2}{2\times 5-3\times 2}&\frac{2}{2\times 5-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}&-\frac{3}{4}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}-\frac{3}{4}\left(-1\right)\\-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

Extrahujte prvky matice x a y.

$$x=2,y=-1$$

Postup použitia eliminácie

Ak chcete rovnicu vyriešiť elimináciou, koeficienty jednej z premenných musia byť v obidvoch rovniciach rovnaké, aby sa pri odčítaní jednej rovnice od druhej premenná vykrátila.

$$2x+3y=1,2x+5y=-1$$

Odčítajte rovnicu 2x+5y=-1 od rovnice 2x+3y=1 tak, že odčítate rovnaké členy na každej strane rovnice.

$$2x-2x+3y-5y=1+1$$

Prirátajte 2x ku -2x. Členy 2x a -2x sa vykrátia, pričom sa rovnica ponechá len s jednou premennou, ktorú je možné vyriešiť.

$$3y-5y=1+1$$

Prirátajte 3y ku -5y.

$$-2y=1+1$$

Prirátajte 1 ku 1.

$$-2y=2$$

Vydeľte obe strany hodnotou -2.

$$y=-1$$

V rovnici 2x+5y=-1 dosaďte y za premennú -1. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$2x+5\left(-1\right)=-1$$

Vynásobte číslo 5 číslom -1.

$$2x-5=-1$$

Prirátajte 5 ku obom stranám rovnice.

$$2x=4$$

Vydeľte obe strany hodnotou 2.

$$x=2$$

Systém je vyriešený.

$$x=2,y=-1$$