Vyriešiť 2r^2+21r+54=0

$$2 r ^ { 2 } + 21 r + 54 = 0$$

Riešenie pre r

$$r = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4,5$$

$$r=-6$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare 2r^{2}+ar+br+54. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=21 ab=2\times 54=108$$

Keďže ab je kladné, a a b majú rovnaký znak. Keďže a+b je kladné, a a b sú oba kladné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin 108.

$$1,108 2,54 3,36 4,27 6,18 9,12$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$1+108=109 2+54=56 3+36=39 4+27=31 6+18=24 9+12=21$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje 21 súčtu.

$$a=9 b=12$$

Zapíšte 2r^{2}+21r+54 ako výraz \left(2r^{2}+9r\right)+\left(12r+54\right).

$$\left(2r^{2}+9r\right)+\left(12r+54\right)$$

r na prvej skupine a 6 v druhá skupina.

$$r\left(2r+9\right)+6\left(2r+9\right)$$

Vyberte spoločný člen 2r+9 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(2r+9\right)\left(r+6\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte 2r+9=0 a r+6=0.

$$r=-\frac{9}{2} r=-6$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$2r^{2}+21r+54=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 2 za a, 21 za b a 54 za c.

$$r=\frac{-21±\sqrt{21^{2}-4\times 2\times 54}}{2\times 2}$$

Umocnite číslo 21.

$$r=\frac{-21±\sqrt{441-4\times 2\times 54}}{2\times 2}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 2.

$$r=\frac{-21±\sqrt{441-8\times 54}}{2\times 2}$$

Vynásobte číslo -8 číslom 54.

$$r=\frac{-21±\sqrt{441-432}}{2\times 2}$$

Prirátajte 441 ku -432.

$$r=\frac{-21±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 9.

$$r=\frac{-21±3}{2\times 2}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 2.

$$r=\frac{-21±3}{4}$$

Vyriešte rovnicu r=\frac{-21±3}{4}, keď ± je plus. Prirátajte -21 ku 3.

$$r=-\frac{18}{4}$$

Vykráťte zlomok \frac{-18}{4} na základný tvar extrakciou a elimináciou 2.

$$r=-\frac{9}{2}$$

Vyriešte rovnicu r=\frac{-21±3}{4}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 3 od čísla -21.

$$r=-\frac{24}{4}$$

Vydeľte číslo -24 číslom 4.

$$r=-6$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$r=-\frac{9}{2} r=-6$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$2r^{2}+21r+54=0$$

Odčítajte hodnotu 54 od oboch strán rovnice.

$$2r^{2}+21r+54-54=-54$$

Výsledkom odčítania čísla 54 od seba samého bude 0.

$$2r^{2}+21r=-54$$

Vydeľte obe strany hodnotou 2.

$$\frac{2r^{2}+21r}{2}=-\frac{54}{2}$$

Delenie číslom 2 ruší násobenie číslom 2.

$$r^{2}+\frac{21}{2}r=-\frac{54}{2}$$

Vydeľte číslo -54 číslom 2.

$$r^{2}+\frac{21}{2}r=-27$$

Číslo \frac{21}{2}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok \frac{21}{4}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu \frac{21}{4}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$r^{2}+\frac{21}{2}r+\left(\frac{21}{4}\right)^{2}=-27+\left(\frac{21}{4}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok \frac{21}{4} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$r^{2}+\frac{21}{2}r+\frac{441}{16}=-27+\frac{441}{16}$$

Prirátajte -27 ku \frac{441}{16}.

$$r^{2}+\frac{21}{2}r+\frac{441}{16}=\frac{9}{16}$$

Rozložte r^{2}+\frac{21}{2}r+\frac{441}{16} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r+\frac{21}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(r+\frac{21}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Zjednodušte.

$$r+\frac{21}{4}=\frac{3}{4} r+\frac{21}{4}=-\frac{3}{4}$$

Odčítajte hodnotu \frac{21}{4} od oboch strán rovnice.

$$r=-\frac{9}{2} r=-6$$