Vyriešiť 2k^2+9k=-7

$$2 k ^ { 2 } + 9 k = - 7$$

Riešenie pre k

$$k = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

$$k=-1$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Pridať položku 7 na obidve snímky.

$$2k^{2}+9k+7=0$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare 2k^{2}+ak+bk+7. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém, ktorý sa má vyriešiť.

$$a+b=9 ab=2\times 7=14$$

Keďže ab je kladná, a a b majú rovnaké znamienko. Keďže a+b je kladná, a a b sú pozitívne. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin 14.

$$1,14 2,7$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$1+14=15 2+7=9$$

Riešením je dvojica, ktorá poskytuje súčet 9.

$$a=2 b=7$$

Zapíšte 2k^{2}+9k+7 ako výraz \left(2k^{2}+2k\right)+\left(7k+7\right).

$$\left(2k^{2}+2k\right)+\left(7k+7\right)$$

Vyčleňte 2k v prvej a 7 v druhej skupine.

$$2k\left(k+1\right)+7\left(k+1\right)$$

Vyberte spoločný člen k+1 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(k+1\right)\left(2k+7\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte k+1=0 a 2k+7=0.

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$2k^{2}+9k=-7$$

Prirátajte 7 ku obom stranám rovnice.

$$2k^{2}+9k-\left(-7\right)=-7-\left(-7\right)$$

Výsledkom odčítania čísla -7 od seba samého bude 0.

$$2k^{2}+9k-\left(-7\right)=0$$

Odčítajte číslo -7 od čísla 0.

$$2k^{2}+9k+7=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 2 za a, 9 za b a 7 za c.

$$k=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

Umocnite číslo 9.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 2.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-8\times 7}}{2\times 2}$$

Vynásobte číslo -8 číslom 7.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-56}}{2\times 2}$$

Prirátajte 81 ku -56.

$$k=\frac{-9±\sqrt{25}}{2\times 2}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 25.

$$k=\frac{-9±5}{2\times 2}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 2.

$$k=\frac{-9±5}{4}$$

Vyriešte rovnicu k=\frac{-9±5}{4}, keď ± je plus. Prirátajte -9 ku 5.

$$k=-\frac{4}{4}$$

Vydeľte číslo -4 číslom 4.

$$k=-1$$

Vyriešte rovnicu k=\frac{-9±5}{4}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 5 od čísla -9.

$$k=-\frac{14}{4}$$

Vykráťte zlomok \frac{-14}{4} na základný tvar extrakciou a elimináciou 2.

$$k=-\frac{7}{2}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$2k^{2}+9k=-7$$

Vydeľte obe strany hodnotou 2.

$$\frac{2k^{2}+9k}{2}=-\frac{7}{2}$$

Delenie číslom 2 ruší násobenie číslom 2.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k=-\frac{7}{2}$$

Číslo \frac{9}{2}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok \frac{9}{4}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu \frac{9}{4}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}=-\frac{7}{2}+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok \frac{9}{4} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16}=-\frac{7}{2}+\frac{81}{16}$$

Prirátajte -\frac{7}{2} ku \frac{81}{16} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16}=\frac{25}{16}$$

Rozložte výraz k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16} na činitele. Keď je výraz x^{2}+bx+c dokonalou mocninou, vo všeobecnosti sa vždy dá rozložiť na činitele ako je \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{25}{16}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(k+\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{16}}$$

Zjednodušte.

$$k+\frac{9}{4}=\frac{5}{4} k+\frac{9}{4}=-\frac{5}{4}$$

Odčítajte hodnotu \frac{9}{4} od oboch strán rovnice.

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$