Vyriešiť 2x^2-5x+17=0

$$2 { x }^{ 2 } -5x+17=0$$

Riešenie pre x (complex solution)

$$x=\frac{5+\sqrt{111}i}{4}\approx 1,25+2,633913438i$$

$$x=\frac{-\sqrt{111}i+5}{4}\approx 1,25-2,633913438i$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$2x^{2}-5x+17=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 2 za a, -5 za b a 17 za c.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 2\times 17}}{2\times 2}$$

Umocnite číslo -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 2\times 17}}{2\times 2}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 2.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-8\times 17}}{2\times 2}$$

Vynásobte číslo -8 číslom 17.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-136}}{2\times 2}$$

Prirátajte 25 ku -136.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{-111}}{2\times 2}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla -111.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{111}i}{2\times 2}$$

Opak čísla -5 je 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{111}i}{2\times 2}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 2.

$$x=\frac{5±\sqrt{111}i}{4}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{5±\sqrt{111}i}{4}, keď ± je plus. Prirátajte 5 ku i\sqrt{111}.

$$x=\frac{5+\sqrt{111}i}{4}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{5±\sqrt{111}i}{4}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo i\sqrt{111} od čísla 5.

$$x=\frac{-\sqrt{111}i+5}{4}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{5+\sqrt{111}i}{4} x=\frac{-\sqrt{111}i+5}{4}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-5x+17=0$$

Odčítajte hodnotu 17 od oboch strán rovnice.

$$2x^{2}-5x+17-17=-17$$

Výsledkom odčítania čísla 17 od seba samého bude 0.

$$2x^{2}-5x=-17$$

Vydeľte obe strany hodnotou 2.

$$\frac{2x^{2}-5x}{2}=-\frac{17}{2}$$

Delenie číslom 2 ruší násobenie číslom 2.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=-\frac{17}{2}$$

Číslo -\frac{5}{2}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{5}{4}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{5}{4}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=-\frac{17}{2}+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{5}{4} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=-\frac{17}{2}+\frac{25}{16}$$

Prirátajte -\frac{17}{2} ku \frac{25}{16} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=-\frac{111}{16}$$

Rozložte x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}=-\frac{111}{16}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{111}{16}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{5}{4}=\frac{\sqrt{111}i}{4} x-\frac{5}{4}=-\frac{\sqrt{111}i}{4}$$

Prirátajte \frac{5}{4} ku obom stranám rovnice.

$$x=\frac{5+\sqrt{111}i}{4} x=\frac{-\sqrt{111}i+5}{4}$$