Vyriešiť 2x^2-11x-40=0

$$2 { x }^{ 2 } -11x-40=0$$

Riešenie pre x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x=8$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare 2x^{2}+ax+bx-40. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém, ktorý sa má vyriešiť.

$$a+b=-11 ab=2\left(-40\right)=-80$$

Keďže ab je záporná, a a b majú opačné znaky. Keďže a+b je záporná hodnota, záporné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako kladné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -80.

$$1,-80 2,-40 4,-20 5,-16 8,-10$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$1-80=-79 2-40=-38 4-20=-16 5-16=-11 8-10=-2$$

Riešením je dvojica, ktorá poskytuje súčet -11.

$$a=-16 b=5$$

Zapíšte 2x^{2}-11x-40 ako výraz \left(2x^{2}-16x\right)+\left(5x-40\right).

$$\left(2x^{2}-16x\right)+\left(5x-40\right)$$

Vyčleňte 2x v prvej a 5 v druhej skupine.

$$2x\left(x-8\right)+5\left(x-8\right)$$

Vyberte spoločný člen x-8 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(x-8\right)\left(2x+5\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte x-8=0 a 2x+5=0.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$2x^{2}-11x-40=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 2 za a, -11 za b a -40 za c.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Umocnite číslo -11.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 2.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-8\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Vynásobte číslo -8 číslom -40.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+320}}{2\times 2}$$

Prirátajte 121 ku 320.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{441}}{2\times 2}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 441.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±21}{2\times 2}$$

Opak čísla -11 je 11.

$$x=\frac{11±21}{2\times 2}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 2.

$$x=\frac{11±21}{4}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{11±21}{4}, keď ± je plus. Prirátajte 11 ku 21.

$$x=\frac{32}{4}$$

Vydeľte číslo 32 číslom 4.

$$x=8$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{11±21}{4}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 21 od čísla 11.

$$x=-\frac{10}{4}$$

Vykráťte zlomok \frac{-10}{4} na základný tvar extrakciou a elimináciou 2.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-11x-40=0$$

Prirátajte 40 ku obom stranám rovnice.

$$2x^{2}-11x-40-\left(-40\right)=-\left(-40\right)$$

Výsledkom odčítania čísla -40 od seba samého bude 0.

$$2x^{2}-11x=-\left(-40\right)$$

Odčítajte číslo -40 od čísla 0.

$$2x^{2}-11x=40$$

Vydeľte obe strany hodnotou 2.

$$\frac{2x^{2}-11x}{2}=\frac{40}{2}$$

Delenie číslom 2 ruší násobenie číslom 2.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=\frac{40}{2}$$

Vydeľte číslo 40 číslom 2.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=20$$

Číslo -\frac{11}{2}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{11}{4}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{11}{4}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=20+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{11}{4} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=20+\frac{121}{16}$$

Prirátajte 20 ku \frac{121}{16}.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=\frac{441}{16}$$

Rozložte výraz x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16} na činitele. Keď je výraz x^{2}+bx+c dokonalou mocninou, vo všeobecnosti sa vždy dá rozložiť na činitele ako je \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}=\frac{441}{16}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{16}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{11}{4}=\frac{21}{4} x-\frac{11}{4}=-\frac{21}{4}$$

Prirátajte \frac{11}{4} ku obom stranám rovnice.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$