Vyriešiť 2x^2+x-6=30

$$2 { x }^{ 2 } +x-6=30$$

Riešenie pre x

$$x = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4,5$$

$$x=4$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Odčítajte 30 z oboch strán.

$$2x^{2}+x-6-30=0$$

Odčítajte 30 z -6 a dostanete -36.

$$2x^{2}+x-36=0$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare 2x^{2}+ax+bx-36. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=1 ab=2\left(-36\right)=-72$$

Keďže ab je záporná, a a b majú protiľahlom značky. Keďže a+b je kladná hodnota, kladné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako záporné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -72.

$$-1,72 -2,36 -3,24 -4,18 -6,12 -8,9$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$-1+72=71 -2+36=34 -3+24=21 -4+18=14 -6+12=6 -8+9=1$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje 1 súčtu.

$$a=-8 b=9$$

Zapíšte 2x^{2}+x-36 ako výraz \left(2x^{2}-8x\right)+\left(9x-36\right).

$$\left(2x^{2}-8x\right)+\left(9x-36\right)$$

2x na prvej skupine a 9 v druhá skupina.

$$2x\left(x-4\right)+9\left(x-4\right)$$

Vyberte spoločný člen x-4 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(x-4\right)\left(2x+9\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte x-4=0 a 2x+9=0.

$$x=4 x=-\frac{9}{2}$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$2x^{2}+x-6=30$$

Odčítajte hodnotu 30 od oboch strán rovnice.

$$2x^{2}+x-6-30=30-30$$

Výsledkom odčítania čísla 30 od seba samého bude 0.

$$2x^{2}+x-6-30=0$$

Odčítajte číslo 30 od čísla -6.

$$2x^{2}+x-36=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 2 za a, 1 za b a -36 za c.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-36\right)}}{2\times 2}$$

Umocnite číslo 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 2\left(-36\right)}}{2\times 2}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-8\left(-36\right)}}{2\times 2}$$

Vynásobte číslo -8 číslom -36.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+288}}{2\times 2}$$

Prirátajte 1 ku 288.

$$x=\frac{-1±\sqrt{289}}{2\times 2}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 289.

$$x=\frac{-1±17}{2\times 2}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 2.

$$x=\frac{-1±17}{4}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-1±17}{4}, keď ± je plus. Prirátajte -1 ku 17.

$$x=\frac{16}{4}$$

Vydeľte číslo 16 číslom 4.

$$x=4$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-1±17}{4}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 17 od čísla -1.

$$x=-\frac{18}{4}$$

Vykráťte zlomok \frac{-18}{4} na základný tvar extrakciou a elimináciou 2.

$$x=-\frac{9}{2}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=4 x=-\frac{9}{2}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+x-6=30$$

Prirátajte 6 ku obom stranám rovnice.

$$2x^{2}+x-6-\left(-6\right)=30-\left(-6\right)$$

Výsledkom odčítania čísla -6 od seba samého bude 0.

$$2x^{2}+x=30-\left(-6\right)$$

Odčítajte číslo -6 od čísla 30.

$$2x^{2}+x=36$$

Vydeľte obe strany hodnotou 2.

$$\frac{2x^{2}+x}{2}=\frac{36}{2}$$

Delenie číslom 2 ruší násobenie číslom 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{36}{2}$$

Vydeľte číslo 36 číslom 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=18$$

Číslo \frac{1}{2}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok \frac{1}{4}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu \frac{1}{4}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=18+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok \frac{1}{4} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=18+\frac{1}{16}$$

Prirátajte 18 ku \frac{1}{16}.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{289}{16}$$

Rozložte x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{289}{16}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{16}}$$

Zjednodušte.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{17}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{17}{4}$$

Odčítajte hodnotu \frac{1}{4} od oboch strán rovnice.

$$x=4 x=-\frac{9}{2}$$