Vyriešiť 2x^2+5x-3geq0

$$2 { x }^{ 2 } +5x-3 \geq 0$$

Riešenie pre x

$$x\in (-\infty,-3]\cup [\frac{1}{2},\infty)$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Ak chcete nerovnosť vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory. Kvadratický mnohočlen možno rozložiť na faktory použitím transformácie ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), pričom x_{1} a x_{2} sú riešeniami kvadratickej rovnice ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}+5x-3=0$$

Všetky rovnice vo formulári ax^{2}+bx+c=0 je možné riešiť pomocou vzorca pre kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V kvadratickej rovnici nahraďte 2 výrazom a, 5 výrazom b a -3 výrazom c.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Urobte výpočty.

$$x=\frac{-5±7}{4}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-5±7}{4}, ak ± je plus a ak ± je mínus.

$$x=\frac{1}{2} x=-3$$

Zapíšte nerovnosť pomocou získaných riešení.

$$2\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x+3\right)\geq 0$$

Ak má byť výsledok súčinu ≥0, výrazy x-\frac{1}{2} a x+3 musia byť oba ≤0 alebo oba ≥0. Zvážte, aký bude výsledok, ak pre oba výrazy x-\frac{1}{2} a x+3 platí, že sú ≤0.

$$x-\frac{1}{2}\leq 0 x+3\leq 0$$

Riešenie, ktoré platí pre obe nerovnosti, je x\leq -3.

$$x\leq -3$$

Zvážte, aký bude výsledok, ak pre oba výrazy x-\frac{1}{2} a x+3 platí, že sú ≥0.

$$x+3\geq 0 x-\frac{1}{2}\geq 0$$

Riešenie, ktoré platí pre obe nerovnosti, je x\geq \frac{1}{2}.

$$x\geq \frac{1}{2}$$

Konečné riešenie získame kombináciou oboch získaných riešení.

$$x\leq -3\text{; }x\geq \frac{1}{2}$$