Vyriešiť 2x^2+5x+3=20

$$2 { x }^{ 2 } +5x+3=20$$

Riešenie pre x

$$x = \frac{\sqrt{161} - 5}{4} \approx 1,922144385$$

$$x=\frac{-\sqrt{161}-5}{4}\approx -4,422144385$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$2x^{2}+5x+3=20$$

Odčítajte hodnotu 20 od oboch strán rovnice.

$$2x^{2}+5x+3-20=20-20$$

Výsledkom odčítania čísla 20 od seba samého bude 0.

$$2x^{2}+5x+3-20=0$$

Odčítajte číslo 20 od čísla 3.

$$2x^{2}+5x-17=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 2 za a, 5 za b a -17 za c.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\left(-17\right)}}{2\times 2}$$

Umocnite číslo 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 2\left(-17\right)}}{2\times 2}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-8\left(-17\right)}}{2\times 2}$$

Vynásobte číslo -8 číslom -17.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+136}}{2\times 2}$$

Prirátajte 25 ku 136.

$$x=\frac{-5±\sqrt{161}}{2\times 2}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{161}}{4}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-5±\sqrt{161}}{4}, keď ± je plus. Prirátajte -5 ku \sqrt{161}.

$$x=\frac{\sqrt{161}-5}{4}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-5±\sqrt{161}}{4}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo \sqrt{161} od čísla -5.

$$x=\frac{-\sqrt{161}-5}{4}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{\sqrt{161}-5}{4} x=\frac{-\sqrt{161}-5}{4}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+5x+3=20$$

Odčítajte hodnotu 3 od oboch strán rovnice.

$$2x^{2}+5x+3-3=20-3$$

Výsledkom odčítania čísla 3 od seba samého bude 0.

$$2x^{2}+5x=20-3$$

Odčítajte číslo 3 od čísla 20.

$$2x^{2}+5x=17$$

Vydeľte obe strany hodnotou 2.

$$\frac{2x^{2}+5x}{2}=\frac{17}{2}$$

Delenie číslom 2 ruší násobenie číslom 2.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=\frac{17}{2}$$

Číslo \frac{5}{2}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok \frac{5}{4}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu \frac{5}{4}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{17}{2}+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok \frac{5}{4} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{17}{2}+\frac{25}{16}$$

Prirátajte \frac{17}{2} ku \frac{25}{16} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{161}{16}$$

Rozložte x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{161}{16}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{161}{16}}$$

Zjednodušte.

$$x+\frac{5}{4}=\frac{\sqrt{161}}{4} x+\frac{5}{4}=-\frac{\sqrt{161}}{4}$$

Odčítajte hodnotu \frac{5}{4} od oboch strán rovnice.

$$x=\frac{\sqrt{161}-5}{4} x=\frac{-\sqrt{161}-5}{4}$$