Vyriešiť 18x^2-30x+11=0

$$18 x ^ { 2 } - 30 x + 11 = 0$$

Riešenie pre x

$$x = \frac{\sqrt{3} + 5}{6} \approx 1,122008468$$

$$x=\frac{5-\sqrt{3}}{6}\approx 0,544658199$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$18x^{2}-30x+11=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 18 za a, -30 za b a 11 za c.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 18\times 11}}{2\times 18}$$

Umocnite číslo -30.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 18\times 11}}{2\times 18}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 18.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-72\times 11}}{2\times 18}$$

Vynásobte číslo -72 číslom 11.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-792}}{2\times 18}$$

Prirátajte 900 ku -792.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{108}}{2\times 18}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 108.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±6\sqrt{3}}{2\times 18}$$

Opak čísla -30 je 30.

$$x=\frac{30±6\sqrt{3}}{2\times 18}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 18.

$$x=\frac{30±6\sqrt{3}}{36}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{30±6\sqrt{3}}{36}, keď ± je plus. Prirátajte 30 ku 6\sqrt{3}.

$$x=\frac{6\sqrt{3}+30}{36}$$

Vydeľte číslo 30+6\sqrt{3} číslom 36.

$$x=\frac{\sqrt{3}+5}{6}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{30±6\sqrt{3}}{36}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 6\sqrt{3} od čísla 30.

$$x=\frac{30-6\sqrt{3}}{36}$$

Vydeľte číslo 30-6\sqrt{3} číslom 36.

$$x=\frac{5-\sqrt{3}}{6}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{\sqrt{3}+5}{6} x=\frac{5-\sqrt{3}}{6}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$18x^{2}-30x+11=0$$

Odčítajte hodnotu 11 od oboch strán rovnice.

$$18x^{2}-30x+11-11=-11$$

Výsledkom odčítania čísla 11 od seba samého bude 0.

$$18x^{2}-30x=-11$$

Vydeľte obe strany hodnotou 18.

$$\frac{18x^{2}-30x}{18}=-\frac{11}{18}$$

Delenie číslom 18 ruší násobenie číslom 18.

$$x^{2}+\left(-\frac{30}{18}\right)x=-\frac{11}{18}$$

Vykráťte zlomok \frac{-30}{18} na základný tvar extrakciou a elimináciou 6.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=-\frac{11}{18}$$

Číslo -\frac{5}{3}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{5}{6}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{5}{6}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{11}{18}+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{5}{6} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{11}{18}+\frac{25}{36}$$

Prirátajte -\frac{11}{18} ku \frac{25}{36} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{1}{12}$$

Rozložte x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{1}{12}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{12}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{\sqrt{3}}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{6}$$

Prirátajte \frac{5}{6} ku obom stranám rovnice.

$$x=\frac{\sqrt{3}+5}{6} x=\frac{5-\sqrt{3}}{6}$$