Vyriešiť 18x^2-9x-5=0

$$18 { x }^{ 2 } -9x-5 = 0$$

Riešenie pre x

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

$$x=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare 18x^{2}+ax+bx-5. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém, ktorý sa má vyriešiť.

$$a+b=-9 ab=18\left(-5\right)=-90$$

Keďže ab je záporná, a a b majú opačné znaky. Keďže a+b je záporná hodnota, záporné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako kladné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -90.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

Riešením je dvojica, ktorá poskytuje súčet -9.

$$a=-15 b=6$$

Zapíšte 18x^{2}-9x-5 ako výraz \left(18x^{2}-15x\right)+\left(6x-5\right).

$$\left(18x^{2}-15x\right)+\left(6x-5\right)$$

Vyčleňte 3x z výrazu 18x^{2}-15x.

$$3x\left(6x-5\right)+6x-5$$

Vyberte spoločný člen 6x-5 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(6x-5\right)\left(3x+1\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte 6x-5=0 a 3x+1=0.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$18x^{2}-9x-5=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 18 za a, -9 za b a -5 za c.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Umocnite číslo -9.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 18.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-72\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Vynásobte číslo -72 číslom -5.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+360}}{2\times 18}$$

Prirátajte 81 ku 360.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{441}}{2\times 18}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 441.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±21}{2\times 18}$$

Opak čísla -9 je 9.

$$x=\frac{9±21}{2\times 18}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 18.

$$x=\frac{9±21}{36}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{9±21}{36}, keď ± je plus. Prirátajte 9 ku 21.

$$x=\frac{30}{36}$$

Vykráťte zlomok \frac{30}{36} na základný tvar extrakciou a elimináciou 6.

$$x=\frac{5}{6}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{9±21}{36}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 21 od čísla 9.

$$x=-\frac{12}{36}$$

Vykráťte zlomok \frac{-12}{36} na základný tvar extrakciou a elimináciou 12.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$18x^{2}-9x-5=0$$

Prirátajte 5 ku obom stranám rovnice.

$$18x^{2}-9x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Výsledkom odčítania čísla -5 od seba samého bude 0.

$$18x^{2}-9x=-\left(-5\right)$$

Odčítajte číslo -5 od čísla 0.

$$18x^{2}-9x=5$$

Vydeľte obe strany hodnotou 18.

$$\frac{18x^{2}-9x}{18}=\frac{5}{18}$$

Delenie číslom 18 ruší násobenie číslom 18.

$$x^{2}+\left(-\frac{9}{18}\right)x=\frac{5}{18}$$

Vykráťte zlomok \frac{-9}{18} na základný tvar extrakciou a elimináciou 9.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{5}{18}$$

Číslo -\frac{1}{2}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{1}{4}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{1}{4}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{5}{18}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{1}{4} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{5}{18}+\frac{1}{16}$$

Prirátajte \frac{5}{18} ku \frac{1}{16} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{49}{144}$$

Rozložte výraz x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16} na činitele. Keď je výraz x^{2}+bx+c dokonalou mocninou, vo všeobecnosti sa vždy dá rozložiť na činitele ako je \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{7}{12} x-\frac{1}{4}=-\frac{7}{12}$$

Prirátajte \frac{1}{4} ku obom stranám rovnice.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$