Vyriešiť 16x^2-24x+9=0

$$16 x ^ { 2 } - 24 x + 9 = 0$$

Riešenie pre x

$$x=\frac{3}{4}=0,75$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare 16x^{2}+ax+bx+9. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=-24 ab=16\times 9=144$$

Keďže ab je kladné, a a b majú rovnaký znak. Keďže a+b je záporná, a a b sú záporné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin 144.

$$-1,-144 -2,-72 -3,-48 -4,-36 -6,-24 -8,-18 -9,-16 -12,-12$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$-1-144=-145 -2-72=-74 -3-48=-51 -4-36=-40 -6-24=-30 -8-18=-26 -9-16=-25 -12-12=-24$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje -24 súčtu.

$$a=-12 b=-12$$

Zapíšte 16x^{2}-24x+9 ako výraz \left(16x^{2}-12x\right)+\left(-12x+9\right).

$$\left(16x^{2}-12x\right)+\left(-12x+9\right)$$

4x na prvej skupine a -3 v druhá skupina.

$$4x\left(4x-3\right)-3\left(4x-3\right)$$

Vyberte spoločný člen 4x-3 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(4x-3\right)\left(4x-3\right)$$

Prepíšte rovnicu ako druhú mocninu dvojčlena.

$$\left(4x-3\right)^{2}$$

Ak chcete nájsť riešenie rovnice, vyriešte 4x-3=0.

$$x=\frac{3}{4}$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$16x^{2}-24x+9=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 16 za a, -24 za b a 9 za c.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 16\times 9}}{2\times 16}$$

Umocnite číslo -24.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 16\times 9}}{2\times 16}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 16.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-64\times 9}}{2\times 16}$$

Vynásobte číslo -64 číslom 9.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-576}}{2\times 16}$$

Prirátajte 576 ku -576.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{0}}{2\times 16}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 0.

$$x=-\frac{-24}{2\times 16}$$

Opak čísla -24 je 24.

$$x=\frac{24}{2\times 16}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 16.

$$x=\frac{24}{32}$$

Vykráťte zlomok \frac{24}{32} na základný tvar extrakciou a elimináciou 8.

$$x=\frac{3}{4}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$16x^{2}-24x+9=0$$

Odčítajte hodnotu 9 od oboch strán rovnice.

$$16x^{2}-24x+9-9=-9$$

Výsledkom odčítania čísla 9 od seba samého bude 0.

$$16x^{2}-24x=-9$$

Vydeľte obe strany hodnotou 16.

$$\frac{16x^{2}-24x}{16}=-\frac{9}{16}$$

Delenie číslom 16 ruší násobenie číslom 16.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{16}\right)x=-\frac{9}{16}$$

Vykráťte zlomok \frac{-24}{16} na základný tvar extrakciou a elimináciou 8.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=-\frac{9}{16}$$

Číslo -\frac{3}{2}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{3}{4}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{3}{4}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{9}{16}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{3}{4} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{-9+9}{16}$$

Prirátajte -\frac{9}{16} ku \frac{9}{16} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=0$$

Rozložte x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=0$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{3}{4}=0 x-\frac{3}{4}=0$$

Prirátajte \frac{3}{4} ku obom stranám rovnice.

$$x=\frac{3}{4} x=\frac{3}{4}$$

Teraz je rovnica vyriešená. Riešenia sú rovnaké.

$$x=\frac{3}{4}$$