Vyriešiť 15y^2+8y+1=0

$$15 y ^ { 2 } + 8 y + 1 = 0$$

Riešenie pre y

$$y=-\frac{1}{5}=-0,2$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare 15y^{2}+ay+by+1. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=8 ab=15\times 1=15$$

Keďže ab je kladné, a a b majú rovnaký znak. Keďže a+b je kladné, a a b sú oba kladné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin 15.

$$1,15 3,5$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$1+15=16 3+5=8$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje 8 súčtu.

$$a=3 b=5$$

Zapíšte 15y^{2}+8y+1 ako výraz \left(15y^{2}+3y\right)+\left(5y+1\right).

$$\left(15y^{2}+3y\right)+\left(5y+1\right)$$

Vyčleňte 3y z výrazu 15y^{2}+3y.

$$3y\left(5y+1\right)+5y+1$$

Vyberte spoločný člen 5y+1 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(5y+1\right)\left(3y+1\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte 5y+1=0 a 3y+1=0.

$$y=-\frac{1}{5} y=-\frac{1}{3}$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$15y^{2}+8y+1=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 15 za a, 8 za b a 1 za c.

$$y=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 15}}{2\times 15}$$

Umocnite číslo 8.

$$y=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 15}}{2\times 15}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 15.

$$y=\frac{-8±\sqrt{64-60}}{2\times 15}$$

Prirátajte 64 ku -60.

$$y=\frac{-8±\sqrt{4}}{2\times 15}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 4.

$$y=\frac{-8±2}{2\times 15}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 15.

$$y=\frac{-8±2}{30}$$

Vyriešte rovnicu y=\frac{-8±2}{30}, keď ± je plus. Prirátajte -8 ku 2.

$$y=-\frac{6}{30}$$

Vykráťte zlomok \frac{-6}{30} na základný tvar extrakciou a elimináciou 6.

$$y=-\frac{1}{5}$$

Vyriešte rovnicu y=\frac{-8±2}{30}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 2 od čísla -8.

$$y=-\frac{10}{30}$$

Vykráťte zlomok \frac{-10}{30} na základný tvar extrakciou a elimináciou 10.

$$y=-\frac{1}{3}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$y=-\frac{1}{5} y=-\frac{1}{3}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$15y^{2}+8y+1=0$$

Odčítajte hodnotu 1 od oboch strán rovnice.

$$15y^{2}+8y+1-1=-1$$

Výsledkom odčítania čísla 1 od seba samého bude 0.

$$15y^{2}+8y=-1$$

Vydeľte obe strany hodnotou 15.

$$\frac{15y^{2}+8y}{15}=-\frac{1}{15}$$

Delenie číslom 15 ruší násobenie číslom 15.

$$y^{2}+\frac{8}{15}y=-\frac{1}{15}$$

Číslo \frac{8}{15}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok \frac{4}{15}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu \frac{4}{15}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$y^{2}+\frac{8}{15}y+\left(\frac{4}{15}\right)^{2}=-\frac{1}{15}+\left(\frac{4}{15}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok \frac{4}{15} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$y^{2}+\frac{8}{15}y+\frac{16}{225}=-\frac{1}{15}+\frac{16}{225}$$

Prirátajte -\frac{1}{15} ku \frac{16}{225} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$y^{2}+\frac{8}{15}y+\frac{16}{225}=\frac{1}{225}$$

Rozložte y^{2}+\frac{8}{15}y+\frac{16}{225} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+\frac{4}{15}\right)^{2}=\frac{1}{225}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(y+\frac{4}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{225}}$$

Zjednodušte.

$$y+\frac{4}{15}=\frac{1}{15} y+\frac{4}{15}=-\frac{1}{15}$$

Odčítajte hodnotu \frac{4}{15} od oboch strán rovnice.

$$y=-\frac{1}{5} y=-\frac{1}{3}$$