Vyriešiť 15x^2+11x+2=0

$$15 x ^ { 2 } + 11 x + 2 = 0$$

Riešenie pre x

$$x=-\frac{2}{5}=-0,4$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare 15x^{2}+ax+bx+2. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém, ktorý sa má vyriešiť.

$$a+b=11 ab=15\times 2=30$$

Keďže ab je kladná, a a b majú rovnaké znamienko. Keďže a+b je kladná, a a b sú pozitívne. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

Riešením je dvojica, ktorá poskytuje súčet 11.

$$a=5 b=6$$

Zapíšte 15x^{2}+11x+2 ako výraz \left(15x^{2}+5x\right)+\left(6x+2\right).

$$\left(15x^{2}+5x\right)+\left(6x+2\right)$$

Vyčleňte 5x v prvej a 2 v druhej skupine.

$$5x\left(3x+1\right)+2\left(3x+1\right)$$

Vyberte spoločný člen 3x+1 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(3x+1\right)\left(5x+2\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte 3x+1=0 a 5x+2=0.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$15x^{2}+11x+2=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 15 za a, 11 za b a 2 za c.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

Umocnite číslo 11.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 15.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-60\times 2}}{2\times 15}$$

Vynásobte číslo -60 číslom 2.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-120}}{2\times 15}$$

Prirátajte 121 ku -120.

$$x=\frac{-11±\sqrt{1}}{2\times 15}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 1.

$$x=\frac{-11±1}{2\times 15}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 15.

$$x=\frac{-11±1}{30}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-11±1}{30}, keď ± je plus. Prirátajte -11 ku 1.

$$x=-\frac{10}{30}$$

Vykráťte zlomok \frac{-10}{30} na základný tvar extrakciou a elimináciou 10.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-11±1}{30}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 1 od čísla -11.

$$x=-\frac{12}{30}$$

Vykráťte zlomok \frac{-12}{30} na základný tvar extrakciou a elimináciou 6.

$$x=-\frac{2}{5}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$15x^{2}+11x+2=0$$

Odčítajte hodnotu 2 od oboch strán rovnice.

$$15x^{2}+11x+2-2=-2$$

Výsledkom odčítania čísla 2 od seba samého bude 0.

$$15x^{2}+11x=-2$$

Vydeľte obe strany hodnotou 15.

$$\frac{15x^{2}+11x}{15}=-\frac{2}{15}$$

Delenie číslom 15 ruší násobenie číslom 15.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x=-\frac{2}{15}$$

Číslo \frac{11}{15}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok \frac{11}{30}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu \frac{11}{30}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\left(\frac{11}{30}\right)^{2}=-\frac{2}{15}+\left(\frac{11}{30}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok \frac{11}{30} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}=-\frac{2}{15}+\frac{121}{900}$$

Prirátajte -\frac{2}{15} ku \frac{121}{900} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}=\frac{1}{900}$$

Rozložte výraz x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900} na činitele. Keď je výraz x^{2}+bx+c dokonalou mocninou, vo všeobecnosti sa vždy dá rozložiť na činitele ako je \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{30}\right)^{2}=\frac{1}{900}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{900}}$$

Zjednodušte.

$$x+\frac{11}{30}=\frac{1}{30} x+\frac{11}{30}=-\frac{1}{30}$$

Odčítajte hodnotu \frac{11}{30} od oboch strán rovnice.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$