Vyriešiť 15x^2+4x-4=0

$$15 { x }^{ 2 } +4x-4=0$$

Riešenie pre x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=\frac{2}{5}=0,4$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare 15x^{2}+ax+bx-4. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=4 ab=15\left(-4\right)=-60$$

Keďže ab je záporná, a a b majú protiľahlom značky. Keďže a+b je kladná hodnota, kladné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako záporné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -60.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje 4 súčtu.

$$a=-6 b=10$$

Zapíšte 15x^{2}+4x-4 ako výraz \left(15x^{2}-6x\right)+\left(10x-4\right).

$$\left(15x^{2}-6x\right)+\left(10x-4\right)$$

3x na prvej skupine a 2 v druhá skupina.

$$3x\left(5x-2\right)+2\left(5x-2\right)$$

Vyberte spoločný člen 5x-2 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(5x-2\right)\left(3x+2\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte 5x-2=0 a 3x+2=0.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$15x^{2}+4x-4=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 15 za a, 4 za b a -4 za c.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Umocnite číslo 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 15.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-60\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Vynásobte číslo -60 číslom -4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+240}}{2\times 15}$$

Prirátajte 16 ku 240.

$$x=\frac{-4±\sqrt{256}}{2\times 15}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 256.

$$x=\frac{-4±16}{2\times 15}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 15.

$$x=\frac{-4±16}{30}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-4±16}{30}, keď ± je plus. Prirátajte -4 ku 16.

$$x=\frac{12}{30}$$

Vykráťte zlomok \frac{12}{30} na základný tvar extrakciou a elimináciou 6.

$$x=\frac{2}{5}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-4±16}{30}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 16 od čísla -4.

$$x=-\frac{20}{30}$$

Vykráťte zlomok \frac{-20}{30} na základný tvar extrakciou a elimináciou 10.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$15x^{2}+4x-4=0$$

Prirátajte 4 ku obom stranám rovnice.

$$15x^{2}+4x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Výsledkom odčítania čísla -4 od seba samého bude 0.

$$15x^{2}+4x=-\left(-4\right)$$

Odčítajte číslo -4 od čísla 0.

$$15x^{2}+4x=4$$

Vydeľte obe strany hodnotou 15.

$$\frac{15x^{2}+4x}{15}=\frac{4}{15}$$

Delenie číslom 15 ruší násobenie číslom 15.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x=\frac{4}{15}$$

Číslo \frac{4}{15}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok \frac{2}{15}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu \frac{2}{15}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\left(\frac{2}{15}\right)^{2}=\frac{4}{15}+\left(\frac{2}{15}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok \frac{2}{15} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}=\frac{4}{15}+\frac{4}{225}$$

Prirátajte \frac{4}{15} ku \frac{4}{225} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}=\frac{64}{225}$$

Rozložte x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{15}\right)^{2}=\frac{64}{225}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{225}}$$

Zjednodušte.

$$x+\frac{2}{15}=\frac{8}{15} x+\frac{2}{15}=-\frac{8}{15}$$

Odčítajte hodnotu \frac{2}{15} od oboch strán rovnice.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$