Vyriešiť 13x=x^2+30

$$13 x = x ^ { 2 } + 30$$

Riešenie pre x

$$x=3$$

$$x=10$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Odčítajte x^{2} z oboch strán.

$$13x-x^{2}=30$$

Odčítajte 30 z oboch strán.

$$13x-x^{2}-30=0$$

Zmeňte usporiadanie polynomickej rovnice do štandardného tvaru. Členy zoraďte od najväčšieho po najmenší.

$$-x^{2}+13x-30=0$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare -x^{2}+ax+bx-30. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=13 ab=-\left(-30\right)=30$$

Keďže ab je kladné, a a b majú rovnaký znak. Keďže a+b je kladné, a a b sú oba kladné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje 13 súčtu.

$$a=10 b=3$$

Zapíšte -x^{2}+13x-30 ako výraz \left(-x^{2}+10x\right)+\left(3x-30\right).

$$\left(-x^{2}+10x\right)+\left(3x-30\right)$$

-x na prvej skupine a 3 v druhá skupina.

$$-x\left(x-10\right)+3\left(x-10\right)$$

Vyberte spoločný člen x-10 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(x-10\right)\left(-x+3\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte x-10=0 a -x+3=0.

$$x=10 x=3$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Odčítajte x^{2} z oboch strán.

$$13x-x^{2}=30$$

Odčítajte 30 z oboch strán.

$$13x-x^{2}-30=0$$

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$-x^{2}+13x-30=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte -1 za a, 13 za b a -30 za c.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\left(-1\right)\left(-30\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Umocnite číslo 13.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\left(-1\right)\left(-30\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Vynásobte číslo -4 číslom -1.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+4\left(-30\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Vynásobte číslo 4 číslom -30.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-120}}{2\left(-1\right)}$$

Prirátajte 169 ku -120.

$$x=\frac{-13±\sqrt{49}}{2\left(-1\right)}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 49.

$$x=\frac{-13±7}{2\left(-1\right)}$$

Vynásobte číslo 2 číslom -1.

$$x=\frac{-13±7}{-2}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-13±7}{-2}, keď ± je plus. Prirátajte -13 ku 7.

$$x=-\frac{6}{-2}$$

Vydeľte číslo -6 číslom -2.

$$x=3$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-13±7}{-2}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 7 od čísla -13.

$$x=-\frac{20}{-2}$$

Vydeľte číslo -20 číslom -2.

$$x=10$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=3 x=10$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Odčítajte x^{2} z oboch strán.

$$13x-x^{2}=30$$

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+13x=30$$

Vydeľte obe strany hodnotou -1.

$$\frac{-x^{2}+13x}{-1}=\frac{30}{-1}$$

Delenie číslom -1 ruší násobenie číslom -1.

$$x^{2}+\frac{13}{-1}x=\frac{30}{-1}$$

Vydeľte číslo 13 číslom -1.

$$x^{2}-13x=\frac{30}{-1}$$

Vydeľte číslo 30 číslom -1.

$$x^{2}-13x=-30$$

Číslo -13, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{13}{2}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{13}{2}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-13x+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}=-30+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{13}{2} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=-30+\frac{169}{4}$$

Prirátajte -30 ku \frac{169}{4}.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=\frac{49}{4}$$

Rozložte x^{2}-13x+\frac{169}{4} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{13}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{13}{2}=-\frac{7}{2}$$

Prirátajte \frac{13}{2} ku obom stranám rovnice.

$$x=10 x=3$$