Vyriešiť 13left(x-2yright)^2-8left(x-2yright)left(2x+yright)+7left(2x+yright)^2

$$13 { \left(x-2y \right) }^{ 2 } -8 \left( x-2y \right) \left( 2x+y \right) +7 { \left(2x+y \right) }^{ 2 }$$

Vyhodnotiť

$$25\left(x^{2}+3y^{2}\right)$$

Postup riešenia

Na rozloženie výrazu \left(x-2y\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$13\left(x^{2}-4xy+4y^{2}\right)-8\left(x-2y\right)\left(2x+y\right)+7\left(2x+y\right)^{2}$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 13 a x^{2}-4xy+4y^{2}.

$$13x^{2}-52xy+52y^{2}-8\left(x-2y\right)\left(2x+y\right)+7\left(2x+y\right)^{2}$$

Na rozloženie výrazu \left(2x+y\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$13x^{2}-52xy+52y^{2}-8\left(x-2y\right)\left(2x+y\right)+7\left(4x^{2}+4xy+y^{2}\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 7 a 4x^{2}+4xy+y^{2}.

$$13x^{2}-52xy+52y^{2}-8\left(x-2y\right)\left(2x+y\right)+28x^{2}+28xy+7y^{2}$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie -8 a x-2y.

$$13x^{2}-52xy+52y^{2}+\left(-8x+16y\right)\left(2x+y\right)+28x^{2}+28xy+7y^{2}$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie výrazov -8x+16y a 2x+y a zlúčenie podobných členov.

$$13x^{2}-52xy+52y^{2}-16x^{2}+24xy+16y^{2}+28x^{2}+28xy+7y^{2}$$

Skombinovaním 13x^{2} a -16x^{2} získate -3x^{2}.

$$-3x^{2}-52xy+52y^{2}+24xy+16y^{2}+28x^{2}+28xy+7y^{2}$$

Skombinovaním -52xy a 24xy získate -28xy.

$$-3x^{2}-28xy+52y^{2}+16y^{2}+28x^{2}+28xy+7y^{2}$$

Skombinovaním 52y^{2} a 16y^{2} získate 68y^{2}.

$$-3x^{2}-28xy+68y^{2}+28x^{2}+28xy+7y^{2}$$

Skombinovaním -3x^{2} a 28x^{2} získate 25x^{2}.

$$25x^{2}-28xy+68y^{2}+28xy+7y^{2}$$

Skombinovaním -28xy a 28xy získate 0.

$$25x^{2}+68y^{2}+7y^{2}$$

Skombinovaním 68y^{2} a 7y^{2} získate 75y^{2}.

$$25x^{2}+75y^{2}$$

Rozšíriť

$$25x^{2}+75y^{2}$$

Postup riešenia

Na rozloženie výrazu \left(x-2y\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$13\left(x^{2}-4xy+4y^{2}\right)-8\left(x-2y\right)\left(2x+y\right)+7\left(2x+y\right)^{2}$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 13 a x^{2}-4xy+4y^{2}.

$$13x^{2}-52xy+52y^{2}-8\left(x-2y\right)\left(2x+y\right)+7\left(2x+y\right)^{2}$$

Na rozloženie výrazu \left(2x+y\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$13x^{2}-52xy+52y^{2}-8\left(x-2y\right)\left(2x+y\right)+7\left(4x^{2}+4xy+y^{2}\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 7 a 4x^{2}+4xy+y^{2}.

$$13x^{2}-52xy+52y^{2}-8\left(x-2y\right)\left(2x+y\right)+28x^{2}+28xy+7y^{2}$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie -8 a x-2y.

$$13x^{2}-52xy+52y^{2}+\left(-8x+16y\right)\left(2x+y\right)+28x^{2}+28xy+7y^{2}$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie výrazov -8x+16y a 2x+y a zlúčenie podobných členov.

$$13x^{2}-52xy+52y^{2}-16x^{2}+24xy+16y^{2}+28x^{2}+28xy+7y^{2}$$

Skombinovaním 13x^{2} a -16x^{2} získate -3x^{2}.

$$-3x^{2}-52xy+52y^{2}+24xy+16y^{2}+28x^{2}+28xy+7y^{2}$$

Skombinovaním -52xy a 24xy získate -28xy.

$$-3x^{2}-28xy+52y^{2}+16y^{2}+28x^{2}+28xy+7y^{2}$$

Skombinovaním 52y^{2} a 16y^{2} získate 68y^{2}.

$$-3x^{2}-28xy+68y^{2}+28x^{2}+28xy+7y^{2}$$

Skombinovaním -3x^{2} a 28x^{2} získate 25x^{2}.

$$25x^{2}-28xy+68y^{2}+28xy+7y^{2}$$

Skombinovaním -28xy a 28xy získate 0.

$$25x^{2}+68y^{2}+7y^{2}$$

Skombinovaním 68y^{2} a 7y^{2} získate 75y^{2}.

$$25x^{2}+75y^{2}$$