Vyriešiť 120x^2+8000x-92000=0

$$120 { x }^{ 2 } +8000x-92000=0$$

Riešenie pre x

$$x = -\frac{230}{3} = -76\frac{2}{3} \approx -76,666666667$$

$$x=10$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Vydeľte obe strany hodnotou 40.

$$3x^{2}+200x-2300=0$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare 3x^{2}+ax+bx-2300. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém, ktorý sa má vyriešiť.

$$a+b=200 ab=3\left(-2300\right)=-6900$$

Keďže ab je záporná, a a b majú opačné znaky. Keďže a+b je kladná hodnota, kladné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako záporné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -6900.

$$-1,6900 -2,3450 -3,2300 -4,1725 -5,1380 -6,1150 -10,690 -12,575 -15,460 -20,345 -23,300 -25,276 -30,230 -46,150 -50,138 -60,115 -69,100 -75,92$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$-1+6900=6899 -2+3450=3448 -3+2300=2297 -4+1725=1721 -5+1380=1375 -6+1150=1144 -10+690=680 -12+575=563 -15+460=445 -20+345=325 -23+300=277 -25+276=251 -30+230=200 -46+150=104 -50+138=88 -60+115=55 -69+100=31 -75+92=17$$

Riešením je dvojica, ktorá poskytuje súčet 200.

$$a=-30 b=230$$

Zapíšte 3x^{2}+200x-2300 ako výraz \left(3x^{2}-30x\right)+\left(230x-2300\right).

$$\left(3x^{2}-30x\right)+\left(230x-2300\right)$$

Vyčleňte 3x v prvej a 230 v druhej skupine.

$$3x\left(x-10\right)+230\left(x-10\right)$$

Vyberte spoločný člen x-10 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(x-10\right)\left(3x+230\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte x-10=0 a 3x+230=0.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$120x^{2}+8000x-92000=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 120 za a, 8000 za b a -92000 za c.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{8000^{2}-4\times 120\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

Umocnite číslo 8000.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000-4\times 120\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 120.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000-480\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

Vynásobte číslo -480 číslom -92000.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000+44160000}}{2\times 120}$$

Prirátajte 64000000 ku 44160000.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{108160000}}{2\times 120}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 108160000.

$$x=\frac{-8000±10400}{2\times 120}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 120.

$$x=\frac{-8000±10400}{240}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-8000±10400}{240}, keď ± je plus. Prirátajte -8000 ku 10400.

$$x=\frac{2400}{240}$$

Vydeľte číslo 2400 číslom 240.

$$x=10$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-8000±10400}{240}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 10400 od čísla -8000.

$$x=-\frac{18400}{240}$$

Vykráťte zlomok \frac{-18400}{240} na základný tvar extrakciou a elimináciou 80.

$$x=-\frac{230}{3}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$120x^{2}+8000x-92000=0$$

Prirátajte 92000 ku obom stranám rovnice.

$$120x^{2}+8000x-92000-\left(-92000\right)=-\left(-92000\right)$$

Výsledkom odčítania čísla -92000 od seba samého bude 0.

$$120x^{2}+8000x=-\left(-92000\right)$$

Odčítajte číslo -92000 od čísla 0.

$$120x^{2}+8000x=92000$$

Vydeľte obe strany hodnotou 120.

$$\frac{120x^{2}+8000x}{120}=\frac{92000}{120}$$

Delenie číslom 120 ruší násobenie číslom 120.

$$x^{2}+\frac{8000}{120}x=\frac{92000}{120}$$

Vykráťte zlomok \frac{8000}{120} na základný tvar extrakciou a elimináciou 40.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{92000}{120}$$

Vykráťte zlomok \frac{92000}{120} na základný tvar extrakciou a elimináciou 40.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{2300}{3}$$

Číslo \frac{200}{3}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok \frac{100}{3}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu \frac{100}{3}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{2300}{3}+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok \frac{100}{3} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{2300}{3}+\frac{10000}{9}$$

Prirátajte \frac{2300}{3} ku \frac{10000}{9} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{16900}{9}$$

Rozložte výraz x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9} na činitele. Keď je výraz x^{2}+bx+c dokonalou mocninou, vo všeobecnosti sa vždy dá rozložiť na činitele ako je \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{16900}{9}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16900}{9}}$$

Zjednodušte.

$$x+\frac{100}{3}=\frac{130}{3} x+\frac{100}{3}=-\frac{130}{3}$$

Odčítajte hodnotu \frac{100}{3} od oboch strán rovnice.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$