Vyriešiť 12x^2+32x+5=0

$$12 { x }^{ 2 } +32x+5=0$$

Riešenie pre x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x=-\frac{1}{6}\approx -0.166666667$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare 12x^{2}+ax+bx+5. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém, ktorý sa má vyriešiť.

$$a+b=32 ab=12\times 5=60$$

Keďže ab je kladná, a a b majú rovnaké znamienko. Keďže a+b je kladná, a a b sú pozitívne. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin 60.

$$1,60 2,30 3,20 4,15 5,12 6,10$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$1+60=61 2+30=32 3+20=23 4+15=19 5+12=17 6+10=16$$

Riešením je dvojica, ktorá poskytuje súčet 32.

$$a=2 b=30$$

Zapíšte 12x^{2}+32x+5 ako výraz \left(12x^{2}+2x\right)+\left(30x+5\right).

$$\left(12x^{2}+2x\right)+\left(30x+5\right)$$

Vyčleňte 2x v prvej a 5 v druhej skupine.

$$2x\left(6x+1\right)+5\left(6x+1\right)$$

Vyberte spoločný člen 6x+1 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(6x+1\right)\left(2x+5\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte 6x+1=0 a 2x+5=0.

$$x=-\frac{1}{6} x=-\frac{5}{2}$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$12x^{2}+32x+5=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 12 za a, 32 za b a 5 za c.

$$x=\frac{-32±\sqrt{32^{2}-4\times 12\times 5}}{2\times 12}$$

Umocnite číslo 32.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-4\times 12\times 5}}{2\times 12}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 12.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-48\times 5}}{2\times 12}$$

Vynásobte číslo -48 číslom 5.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-240}}{2\times 12}$$

Prirátajte 1024 ku -240.

$$x=\frac{-32±\sqrt{784}}{2\times 12}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 784.

$$x=\frac{-32±28}{2\times 12}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 12.

$$x=\frac{-32±28}{24}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-32±28}{24}, keď ± je plus. Prirátajte -32 ku 28.

$$x=-\frac{4}{24}$$

Vykráťte zlomok \frac{-4}{24} na základný tvar extrakciou a elimináciou 4.

$$x=-\frac{1}{6}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-32±28}{24}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 28 od čísla -32.

$$x=-\frac{60}{24}$$

Vykráťte zlomok \frac{-60}{24} na základný tvar extrakciou a elimináciou 12.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=-\frac{1}{6} x=-\frac{5}{2}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}+32x+5=0$$

Odčítajte hodnotu 5 od oboch strán rovnice.

$$12x^{2}+32x+5-5=-5$$

Výsledkom odčítania čísla 5 od seba samého bude 0.

$$12x^{2}+32x=-5$$

Vydeľte obe strany hodnotou 12.

$$\frac{12x^{2}+32x}{12}=-\frac{5}{12}$$

Delenie číslom 12 ruší násobenie číslom 12.

$$x^{2}+\frac{32}{12}x=-\frac{5}{12}$$

Vykráťte zlomok \frac{32}{12} na základný tvar extrakciou a elimináciou 4.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=-\frac{5}{12}$$

Číslo \frac{8}{3}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok \frac{4}{3}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu \frac{4}{3}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=-\frac{5}{12}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok \frac{4}{3} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=-\frac{5}{12}+\frac{16}{9}$$

Prirátajte -\frac{5}{12} ku \frac{16}{9} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{49}{36}$$

Rozložte výraz x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9} na činitele. Keď je výraz x^{2}+bx+c dokonalou mocninou, vo všeobecnosti sa vždy dá rozložiť na činitele ako je \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{49}{36}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{36}}$$

Zjednodušte.

$$x+\frac{4}{3}=\frac{7}{6} x+\frac{4}{3}=-\frac{7}{6}$$

Odčítajte hodnotu \frac{4}{3} od oboch strán rovnice.

$$x=-\frac{1}{6} x=-\frac{5}{2}$$