Vyriešiť 110-4x=sqrt{2x+3}

$$110 - 4 x = \sqrt { 2 x + 3 }$$

Riešenie pre x

$$x = \frac{441 - \sqrt{929}}{16} \approx 25,657531168$$

Postup riešenia

Umocnite obe strany rovnice.

$$\left(110-4x\right)^{2}=\left(\sqrt{2x+3}\right)^{2}$$

Na rozloženie výrazu \left(110-4x\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$12100-880x+16x^{2}=\left(\sqrt{2x+3}\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla \sqrt{2x+3} a dostanete 2x+3.

$$12100-880x+16x^{2}=2x+3$$

Odčítajte 2x z oboch strán.

$$12100-880x+16x^{2}-2x=3$$

Skombinovaním -880x a -2x získate -882x.

$$12100-882x+16x^{2}=3$$

Odčítajte 3 z oboch strán.

$$12100-882x+16x^{2}-3=0$$

Odčítajte 3 z 12100 a dostanete 12097.

$$12097-882x+16x^{2}=0$$

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$16x^{2}-882x+12097=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 16 za a, -882 za b a 12097 za c.

$$x=\frac{-\left(-882\right)±\sqrt{\left(-882\right)^{2}-4\times 16\times 12097}}{2\times 16}$$

Umocnite číslo -882.

$$x=\frac{-\left(-882\right)±\sqrt{777924-4\times 16\times 12097}}{2\times 16}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 16.

$$x=\frac{-\left(-882\right)±\sqrt{777924-64\times 12097}}{2\times 16}$$

Vynásobte číslo -64 číslom 12097.

$$x=\frac{-\left(-882\right)±\sqrt{777924-774208}}{2\times 16}$$

Prirátajte 777924 ku -774208.

$$x=\frac{-\left(-882\right)±\sqrt{3716}}{2\times 16}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 3716.

$$x=\frac{-\left(-882\right)±2\sqrt{929}}{2\times 16}$$

Opak čísla -882 je 882.

$$x=\frac{882±2\sqrt{929}}{2\times 16}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 16.

$$x=\frac{882±2\sqrt{929}}{32}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{882±2\sqrt{929}}{32}, keď ± je plus. Prirátajte 882 ku 2\sqrt{929}.

$$x=\frac{2\sqrt{929}+882}{32}$$

Vydeľte číslo 882+2\sqrt{929} číslom 32.

$$x=\frac{\sqrt{929}+441}{16}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{882±2\sqrt{929}}{32}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 2\sqrt{929} od čísla 882.

$$x=\frac{882-2\sqrt{929}}{32}$$

Vydeľte číslo 882-2\sqrt{929} číslom 32.

$$x=\frac{441-\sqrt{929}}{16}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{\sqrt{929}+441}{16} x=\frac{441-\sqrt{929}}{16}$$

Dosadí \frac{\sqrt{929}+441}{16} za x v rovnici 110-4x=\sqrt{2x+3}.

$$110-4\times \frac{\sqrt{929}+441}{16}=\sqrt{2\times \frac{\sqrt{929}+441}{16}+3}$$

Zjednodušte. Hodnota x=\frac{\sqrt{929}+441}{16} nevyhovuje rovnici, pretože ľavá a pravá strana rovnice majú opačné znamienka.

$$-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\times 929^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\times 929^{\frac{1}{2}}$$

Dosadí \frac{441-\sqrt{929}}{16} za x v rovnici 110-4x=\sqrt{2x+3}.

$$110-4\times \frac{441-\sqrt{929}}{16}=\sqrt{2\times \frac{441-\sqrt{929}}{16}+3}$$

Zjednodušte. Hodnota x=\frac{441-\sqrt{929}}{16} vyhovuje rovnici.

$$-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\times 929^{\frac{1}{2}}=-\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\times 929^{\frac{1}{2}}\right)$$

Rovnica 110-4x=\sqrt{2x+3} má jedinečné riešenie.

$$x=\frac{441-\sqrt{929}}{16}$$