Vyriešiť 10x^2+7x-12=0

$$10 x ^ { 2 } + 7 x - 12 = 0$$

Riešenie pre x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x=\frac{4}{5}=0,8$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare 10x^{2}+ax+bx-12. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=7 ab=10\left(-12\right)=-120$$

Keďže ab je záporná, a a b majú protiľahlom značky. Keďže a+b je kladná hodnota, kladné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako záporné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -120.

$$-1,120 -2,60 -3,40 -4,30 -5,24 -6,20 -8,15 -10,12$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$-1+120=119 -2+60=58 -3+40=37 -4+30=26 -5+24=19 -6+20=14 -8+15=7 -10+12=2$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje 7 súčtu.

$$a=-8 b=15$$

Zapíšte 10x^{2}+7x-12 ako výraz \left(10x^{2}-8x\right)+\left(15x-12\right).

$$\left(10x^{2}-8x\right)+\left(15x-12\right)$$

2x na prvej skupine a 3 v druhá skupina.

$$2x\left(5x-4\right)+3\left(5x-4\right)$$

Vyberte spoločný člen 5x-4 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(5x-4\right)\left(2x+3\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte 5x-4=0 a 2x+3=0.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{3}{2}$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$10x^{2}+7x-12=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 10 za a, 7 za b a -12 za c.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 10\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

Umocnite číslo 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 10\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 10.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-40\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

Vynásobte číslo -40 číslom -12.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+480}}{2\times 10}$$

Prirátajte 49 ku 480.

$$x=\frac{-7±\sqrt{529}}{2\times 10}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 529.

$$x=\frac{-7±23}{2\times 10}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 10.

$$x=\frac{-7±23}{20}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-7±23}{20}, keď ± je plus. Prirátajte -7 ku 23.

$$x=\frac{16}{20}$$

Vykráťte zlomok \frac{16}{20} na základný tvar extrakciou a elimináciou 4.

$$x=\frac{4}{5}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-7±23}{20}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 23 od čísla -7.

$$x=-\frac{30}{20}$$

Vykráťte zlomok \frac{-30}{20} na základný tvar extrakciou a elimináciou 10.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{3}{2}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$10x^{2}+7x-12=0$$

Prirátajte 12 ku obom stranám rovnice.

$$10x^{2}+7x-12-\left(-12\right)=-\left(-12\right)$$

Výsledkom odčítania čísla -12 od seba samého bude 0.

$$10x^{2}+7x=-\left(-12\right)$$

Odčítajte číslo -12 od čísla 0.

$$10x^{2}+7x=12$$

Vydeľte obe strany hodnotou 10.

$$\frac{10x^{2}+7x}{10}=\frac{12}{10}$$

Delenie číslom 10 ruší násobenie číslom 10.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x=\frac{12}{10}$$

Vykráťte zlomok \frac{12}{10} na základný tvar extrakciou a elimináciou 2.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x=\frac{6}{5}$$

Číslo \frac{7}{10}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok \frac{7}{20}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu \frac{7}{20}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x+\left(\frac{7}{20}\right)^{2}=\frac{6}{5}+\left(\frac{7}{20}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok \frac{7}{20} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}=\frac{6}{5}+\frac{49}{400}$$

Prirátajte \frac{6}{5} ku \frac{49}{400} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}=\frac{529}{400}$$

Rozložte x^{2}+\frac{7}{10}x+\frac{49}{400} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{20}\right)^{2}=\frac{529}{400}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{400}}$$

Zjednodušte.

$$x+\frac{7}{20}=\frac{23}{20} x+\frac{7}{20}=-\frac{23}{20}$$

Odčítajte hodnotu \frac{7}{20} od oboch strán rovnice.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{3}{2}$$