Vyriešiť 10k^2+9k-1=0

$$10 k ^ { 2 } + 9 k - 1 = 0$$

Riešenie pre k

$$k=-1$$

$$k=\frac{1}{10}=0,1$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare 10k^{2}+ak+bk-1. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=9 ab=10\left(-1\right)=-10$$

Keďže ab je záporná, a a b majú protiľahlom značky. Keďže a+b je kladná hodnota, kladné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako záporné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -10.

$$-1,10 -2,5$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje 9 súčtu.

$$a=-1 b=10$$

Zapíšte 10k^{2}+9k-1 ako výraz \left(10k^{2}-k\right)+\left(10k-1\right).

$$\left(10k^{2}-k\right)+\left(10k-1\right)$$

Vyčleňte k z výrazu 10k^{2}-k.

$$k\left(10k-1\right)+10k-1$$

Vyberte spoločný člen 10k-1 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(10k-1\right)\left(k+1\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte 10k-1=0 a k+1=0.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$10k^{2}+9k-1=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 10 za a, 9 za b a -1 za c.

$$k=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Umocnite číslo 9.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 10.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-40\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Vynásobte číslo -40 číslom -1.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81+40}}{2\times 10}$$

Prirátajte 81 ku 40.

$$k=\frac{-9±\sqrt{121}}{2\times 10}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 121.

$$k=\frac{-9±11}{2\times 10}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 10.

$$k=\frac{-9±11}{20}$$

Vyriešte rovnicu k=\frac{-9±11}{20}, keď ± je plus. Prirátajte -9 ku 11.

$$k=\frac{2}{20}$$

Vykráťte zlomok \frac{2}{20} na základný tvar extrakciou a elimináciou 2.

$$k=\frac{1}{10}$$

Vyriešte rovnicu k=\frac{-9±11}{20}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 11 od čísla -9.

$$k=-\frac{20}{20}$$

Vydeľte číslo -20 číslom 20.

$$k=-1$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$10k^{2}+9k-1=0$$

Prirátajte 1 ku obom stranám rovnice.

$$10k^{2}+9k-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Výsledkom odčítania čísla -1 od seba samého bude 0.

$$10k^{2}+9k=-\left(-1\right)$$

Odčítajte číslo -1 od čísla 0.

$$10k^{2}+9k=1$$

Vydeľte obe strany hodnotou 10.

$$\frac{10k^{2}+9k}{10}=\frac{1}{10}$$

Delenie číslom 10 ruší násobenie číslom 10.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k=\frac{1}{10}$$

Číslo \frac{9}{10}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok \frac{9}{20}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu \frac{9}{20}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\left(\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{1}{10}+\left(\frac{9}{20}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok \frac{9}{20} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}=\frac{1}{10}+\frac{81}{400}$$

Prirátajte \frac{1}{10} ku \frac{81}{400} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}=\frac{121}{400}$$

Rozložte k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{121}{400}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(k+\frac{9}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{400}}$$

Zjednodušte.

$$k+\frac{9}{20}=\frac{11}{20} k+\frac{9}{20}=-\frac{11}{20}$$

Odčítajte hodnotu \frac{9}{20} od oboch strán rovnice.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$