Vyriešiť -4x^2+20x-47=0

$$-4 { x }^{ 2 } +20x-47=0$$

Riešenie pre x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}\approx 2,5-2,34520788i$$

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}\approx 2,5+2,34520788i$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$-4x^{2}+20x-47=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte -4 za a, 20 za b a -47 za c.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-4\right)\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Umocnite číslo 20.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-4\right)\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Vynásobte číslo -4 číslom -4.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+16\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Vynásobte číslo 16 číslom -47.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-752}}{2\left(-4\right)}$$

Prirátajte 400 ku -752.

$$x=\frac{-20±\sqrt{-352}}{2\left(-4\right)}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla -352.

$$x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{2\left(-4\right)}$$

Vynásobte číslo 2 číslom -4.

$$x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8}, keď ± je plus. Prirátajte -20 ku 4i\sqrt{22}.

$$x=\frac{-20+4\sqrt{22}i}{-8}$$

Vydeľte číslo -20+4i\sqrt{22} číslom -8.

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 4i\sqrt{22} od čísla -20.

$$x=\frac{-4\sqrt{22}i-20}{-8}$$

Vydeľte číslo -20-4i\sqrt{22} číslom -8.

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2} x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$-4x^{2}+20x-47=0$$

Prirátajte 47 ku obom stranám rovnice.

$$-4x^{2}+20x-47-\left(-47\right)=-\left(-47\right)$$

Výsledkom odčítania čísla -47 od seba samého bude 0.

$$-4x^{2}+20x=-\left(-47\right)$$

Odčítajte číslo -47 od čísla 0.

$$-4x^{2}+20x=47$$

Vydeľte obe strany hodnotou -4.

$$\frac{-4x^{2}+20x}{-4}=\frac{47}{-4}$$

Delenie číslom -4 ruší násobenie číslom -4.

$$x^{2}+\frac{20}{-4}x=\frac{47}{-4}$$

Vydeľte číslo 20 číslom -4.

$$x^{2}-5x=\frac{47}{-4}$$

Vydeľte číslo 47 číslom -4.

$$x^{2}-5x=-\frac{47}{4}$$

Číslo -5, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{5}{2}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{5}{2}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{47}{4}+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{5}{2} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{-47+25}{4}$$

Prirátajte -\frac{47}{4} ku \frac{25}{4} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-\frac{11}{2}$$

Rozložte x^{2}-5x+\frac{25}{4} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{11}{2}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{2}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{22}i}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{22}i}{2}$$

Prirátajte \frac{5}{2} ku obom stranám rovnice.

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2} x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}$$