Vyriešiť -2x^2+20x=48

$$-2 { x }^{ 2 } +20x=48$$

Riešenie pre x

$$x=4$$

$$x=6$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Odčítajte 48 z oboch strán.

$$-2x^{2}+20x-48=0$$

Vydeľte obe strany hodnotou 2.

$$-x^{2}+10x-24=0$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare -x^{2}+ax+bx-24. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=10 ab=-\left(-24\right)=24$$

Keďže ab je kladné, a a b majú rovnaký znak. Keďže a+b je kladné, a a b sú oba kladné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin 24.

$$1,24 2,12 3,8 4,6$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$1+24=25 2+12=14 3+8=11 4+6=10$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje 10 súčtu.

$$a=6 b=4$$

Zapíšte -x^{2}+10x-24 ako výraz \left(-x^{2}+6x\right)+\left(4x-24\right).

$$\left(-x^{2}+6x\right)+\left(4x-24\right)$$

-x na prvej skupine a 4 v druhá skupina.

$$-x\left(x-6\right)+4\left(x-6\right)$$

Vyberte spoločný člen x-6 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(x-6\right)\left(-x+4\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte x-6=0 a -x+4=0.

$$x=6 x=4$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$-2x^{2}+20x=48$$

Odčítajte hodnotu 48 od oboch strán rovnice.

$$-2x^{2}+20x-48=48-48$$

Výsledkom odčítania čísla 48 od seba samého bude 0.

$$-2x^{2}+20x-48=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte -2 za a, 20 za b a -48 za c.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-2\right)\left(-48\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Umocnite číslo 20.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-2\right)\left(-48\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Vynásobte číslo -4 číslom -2.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+8\left(-48\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Vynásobte číslo 8 číslom -48.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-384}}{2\left(-2\right)}$$

Prirátajte 400 ku -384.

$$x=\frac{-20±\sqrt{16}}{2\left(-2\right)}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 16.

$$x=\frac{-20±4}{2\left(-2\right)}$$

Vynásobte číslo 2 číslom -2.

$$x=\frac{-20±4}{-4}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-20±4}{-4}, keď ± je plus. Prirátajte -20 ku 4.

$$x=-\frac{16}{-4}$$

Vydeľte číslo -16 číslom -4.

$$x=4$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-20±4}{-4}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 4 od čísla -20.

$$x=-\frac{24}{-4}$$

Vydeľte číslo -24 číslom -4.

$$x=6$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=4 x=6$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+20x=48$$

Vydeľte obe strany hodnotou -2.

$$\frac{-2x^{2}+20x}{-2}=\frac{48}{-2}$$

Delenie číslom -2 ruší násobenie číslom -2.

$$x^{2}+\frac{20}{-2}x=\frac{48}{-2}$$

Vydeľte číslo 20 číslom -2.

$$x^{2}-10x=\frac{48}{-2}$$

Vydeľte číslo 48 číslom -2.

$$x^{2}-10x=-24$$

Číslo -10, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -5. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -5. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-10x+\left(-5\right)^{2}=-24+\left(-5\right)^{2}$$

Umocnite číslo -5.

$$x^{2}-10x+25=-24+25$$

Prirátajte -24 ku 25.

$$x^{2}-10x+25=1$$

Rozložte x^{2}-10x+25 na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-5\right)^{2}=1$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-5\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Zjednodušte.

$$x-5=1 x-5=-1$$

Prirátajte 5 ku obom stranám rovnice.

$$x=6 x=4$$