Vyriešiť -x^2-x-1=0

$$- x ^ { 2 } - x - 1 = 0$$

Riešenie pre x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}\approx -0,5-0,866025404i$$

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\approx -0,5+0,866025404i$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$-x^{2}-x-1=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte -1 za a, -1 za b a -1 za c.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Vynásobte číslo -4 číslom -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Vynásobte číslo 4 číslom -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4}}{2\left(-1\right)}$$

Prirátajte 1 ku -4.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{-3}}{2\left(-1\right)}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla -3.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{3}i}{2\left(-1\right)}$$

Opak čísla -1 je 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{3}i}{2\left(-1\right)}$$

Vynásobte číslo 2 číslom -1.

$$x=\frac{1±\sqrt{3}i}{-2}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{1±\sqrt{3}i}{-2}, keď ± je plus. Prirátajte 1 ku i\sqrt{3}.

$$x=\frac{1+\sqrt{3}i}{-2}$$

Vydeľte číslo 1+i\sqrt{3} číslom -2.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{1±\sqrt{3}i}{-2}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo i\sqrt{3} od čísla 1.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{-2}$$

Vydeľte číslo 1-i\sqrt{3} číslom -2.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2} x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-x-1=0$$

Prirátajte 1 ku obom stranám rovnice.

$$-x^{2}-x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Výsledkom odčítania čísla -1 od seba samého bude 0.

$$-x^{2}-x=-\left(-1\right)$$

Odčítajte číslo -1 od čísla 0.

$$-x^{2}-x=1$$

Vydeľte obe strany hodnotou -1.

$$\frac{-x^{2}-x}{-1}=\frac{1}{-1}$$

Delenie číslom -1 ruší násobenie číslom -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{1}{-1}\right)x=\frac{1}{-1}$$

Vydeľte číslo -1 číslom -1.

$$x^{2}+x=\frac{1}{-1}$$

Vydeľte číslo 1 číslom -1.

$$x^{2}+x=-1$$

Číslo 1, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok \frac{1}{2}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu \frac{1}{2}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok \frac{1}{2} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-1+\frac{1}{4}$$

Prirátajte -1 ku \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$$

Rozložte x^{2}+x+\frac{1}{4} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{3}{4}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{4}}$$

Zjednodušte.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}i}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}i}{2}$$

Odčítajte hodnotu \frac{1}{2} od oboch strán rovnice.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$