Vyriešiť -x^2+8x+47=0

$$- x ^ { 2 } + 8 x + 47 = 0$$

Riešenie pre x

$$x=3\sqrt{7}+4\approx 11,937253933$$

$$x=4-3\sqrt{7}\approx -3,937253933$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$-x^{2}+8x+47=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte -1 za a, 8 za b a 47 za c.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\left(-1\right)\times 47}}{2\left(-1\right)}$$

Umocnite číslo 8.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\left(-1\right)\times 47}}{2\left(-1\right)}$$

Vynásobte číslo -4 číslom -1.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+4\times 47}}{2\left(-1\right)}$$

Vynásobte číslo 4 číslom 47.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+188}}{2\left(-1\right)}$$

Prirátajte 64 ku 188.

$$x=\frac{-8±\sqrt{252}}{2\left(-1\right)}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 252.

$$x=\frac{-8±6\sqrt{7}}{2\left(-1\right)}$$

Vynásobte číslo 2 číslom -1.

$$x=\frac{-8±6\sqrt{7}}{-2}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-8±6\sqrt{7}}{-2}, keď ± je plus. Prirátajte -8 ku 6\sqrt{7}.

$$x=\frac{6\sqrt{7}-8}{-2}$$

Vydeľte číslo -8+6\sqrt{7} číslom -2.

$$x=4-3\sqrt{7}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-8±6\sqrt{7}}{-2}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 6\sqrt{7} od čísla -8.

$$x=\frac{-6\sqrt{7}-8}{-2}$$

Vydeľte číslo -8-6\sqrt{7} číslom -2.

$$x=3\sqrt{7}+4$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=4-3\sqrt{7} x=3\sqrt{7}+4$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+8x+47=0$$

Odčítajte hodnotu 47 od oboch strán rovnice.

$$-x^{2}+8x+47-47=-47$$

Výsledkom odčítania čísla 47 od seba samého bude 0.

$$-x^{2}+8x=-47$$

Vydeľte obe strany hodnotou -1.

$$\frac{-x^{2}+8x}{-1}=-\frac{47}{-1}$$

Delenie číslom -1 ruší násobenie číslom -1.

$$x^{2}+\frac{8}{-1}x=-\frac{47}{-1}$$

Vydeľte číslo 8 číslom -1.

$$x^{2}-8x=-\frac{47}{-1}$$

Vydeľte číslo -47 číslom -1.

$$x^{2}-8x=47$$

Číslo -8, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -4. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -4. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=47+\left(-4\right)^{2}$$

Umocnite číslo -4.

$$x^{2}-8x+16=47+16$$

Prirátajte 47 ku 16.

$$x^{2}-8x+16=63$$

Rozložte x^{2}-8x+16 na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-4\right)^{2}=63$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{63}$$

Zjednodušte.

$$x-4=3\sqrt{7} x-4=-3\sqrt{7}$$

Prirátajte 4 ku obom stranám rovnice.

$$x=3\sqrt{7}+4 x=4-3\sqrt{7}$$