Vyriešiť -x^2+7x-10=0

$$- x ^ { 2 } + 7 x - 10 = 0$$

Riešenie pre x

$$x=2$$

$$x=5$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare -x^{2}+ax+bx-10. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém, ktorý sa má vyriešiť.

$$a+b=7 ab=-\left(-10\right)=10$$

Keďže ab je kladná, a a b majú rovnaké znamienko. Keďže a+b je kladná, a a b sú pozitívne. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin 10.

$$1,10 2,5$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$1+10=11 2+5=7$$

Riešením je dvojica, ktorá poskytuje súčet 7.

$$a=5 b=2$$

Zapíšte -x^{2}+7x-10 ako výraz \left(-x^{2}+5x\right)+\left(2x-10\right).

$$\left(-x^{2}+5x\right)+\left(2x-10\right)$$

Vyčleňte -x v prvej a 2 v druhej skupine.

$$-x\left(x-5\right)+2\left(x-5\right)$$

Vyberte spoločný člen x-5 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(x-5\right)\left(-x+2\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte x-5=0 a -x+2=0.

$$x=5 x=2$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$-x^{2}+7x-10=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte -1 za a, 7 za b a -10 za c.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\left(-1\right)\left(-10\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Umocnite číslo 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\left(-1\right)\left(-10\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Vynásobte číslo -4 číslom -1.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+4\left(-10\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Vynásobte číslo 4 číslom -10.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-40}}{2\left(-1\right)}$$

Prirátajte 49 ku -40.

$$x=\frac{-7±\sqrt{9}}{2\left(-1\right)}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 9.

$$x=\frac{-7±3}{2\left(-1\right)}$$

Vynásobte číslo 2 číslom -1.

$$x=\frac{-7±3}{-2}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-7±3}{-2}, keď ± je plus. Prirátajte -7 ku 3.

$$x=-\frac{4}{-2}$$

Vydeľte číslo -4 číslom -2.

$$x=2$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-7±3}{-2}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 3 od čísla -7.

$$x=-\frac{10}{-2}$$

Vydeľte číslo -10 číslom -2.

$$x=5$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=2 x=5$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+7x-10=0$$

Prirátajte 10 ku obom stranám rovnice.

$$-x^{2}+7x-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

Výsledkom odčítania čísla -10 od seba samého bude 0.

$$-x^{2}+7x=-\left(-10\right)$$

Odčítajte číslo -10 od čísla 0.

$$-x^{2}+7x=10$$

Vydeľte obe strany hodnotou -1.

$$\frac{-x^{2}+7x}{-1}=\frac{10}{-1}$$

Delenie číslom -1 ruší násobenie číslom -1.

$$x^{2}+\frac{7}{-1}x=\frac{10}{-1}$$

Vydeľte číslo 7 číslom -1.

$$x^{2}-7x=\frac{10}{-1}$$

Vydeľte číslo 10 číslom -1.

$$x^{2}-7x=-10$$

Číslo -7, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{7}{2}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{7}{2}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=-10+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{7}{2} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=-10+\frac{49}{4}$$

Prirátajte -10 ku \frac{49}{4}.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{9}{4}$$

Rozložte výraz x^{2}-7x+\frac{49}{4} na činitele. Keď je výraz x^{2}+bx+c dokonalou mocninou, vo všeobecnosti sa vždy dá rozložiť na činitele ako je \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{3}{2}$$

Prirátajte \frac{7}{2} ku obom stranám rovnice.

$$x=5 x=2$$