Vyriešiť -3x^2+51x-156=0

$$- 3 x ^ { 2 } + 51 x - 156 = 0$$

Riešenie pre x

$$x=4$$

$$x=13$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Vydeľte obe strany hodnotou 3.

$$-x^{2}+17x-52=0$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare -x^{2}+ax+bx-52. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=17 ab=-\left(-52\right)=52$$

Keďže ab je kladné, a a b majú rovnaký znak. Keďže a+b je kladné, a a b sú oba kladné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin 52.

$$1,52 2,26 4,13$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$1+52=53 2+26=28 4+13=17$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje 17 súčtu.

$$a=13 b=4$$

Zapíšte -x^{2}+17x-52 ako výraz \left(-x^{2}+13x\right)+\left(4x-52\right).

$$\left(-x^{2}+13x\right)+\left(4x-52\right)$$

-x na prvej skupine a 4 v druhá skupina.

$$-x\left(x-13\right)+4\left(x-13\right)$$

Vyberte spoločný člen x-13 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(x-13\right)\left(-x+4\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte x-13=0 a -x+4=0.

$$x=13 x=4$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$-3x^{2}+51x-156=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte -3 za a, 51 za b a -156 za c.

$$x=\frac{-51±\sqrt{51^{2}-4\left(-3\right)\left(-156\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Umocnite číslo 51.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601-4\left(-3\right)\left(-156\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Vynásobte číslo -4 číslom -3.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601+12\left(-156\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Vynásobte číslo 12 číslom -156.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601-1872}}{2\left(-3\right)}$$

Prirátajte 2601 ku -1872.

$$x=\frac{-51±\sqrt{729}}{2\left(-3\right)}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 729.

$$x=\frac{-51±27}{2\left(-3\right)}$$

Vynásobte číslo 2 číslom -3.

$$x=\frac{-51±27}{-6}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-51±27}{-6}, keď ± je plus. Prirátajte -51 ku 27.

$$x=-\frac{24}{-6}$$

Vydeľte číslo -24 číslom -6.

$$x=4$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-51±27}{-6}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 27 od čísla -51.

$$x=-\frac{78}{-6}$$

Vydeľte číslo -78 číslom -6.

$$x=13$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=4 x=13$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+51x-156=0$$

Prirátajte 156 ku obom stranám rovnice.

$$-3x^{2}+51x-156-\left(-156\right)=-\left(-156\right)$$

Výsledkom odčítania čísla -156 od seba samého bude 0.

$$-3x^{2}+51x=-\left(-156\right)$$

Odčítajte číslo -156 od čísla 0.

$$-3x^{2}+51x=156$$

Vydeľte obe strany hodnotou -3.

$$\frac{-3x^{2}+51x}{-3}=\frac{156}{-3}$$

Delenie číslom -3 ruší násobenie číslom -3.

$$x^{2}+\frac{51}{-3}x=\frac{156}{-3}$$

Vydeľte číslo 51 číslom -3.

$$x^{2}-17x=\frac{156}{-3}$$

Vydeľte číslo 156 číslom -3.

$$x^{2}-17x=-52$$

Číslo -17, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{17}{2}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{17}{2}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-17x+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}=-52+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{17}{2} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-17x+\frac{289}{4}=-52+\frac{289}{4}$$

Prirátajte -52 ku \frac{289}{4}.

$$x^{2}-17x+\frac{289}{4}=\frac{81}{4}$$

Rozložte x^{2}-17x+\frac{289}{4} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{17}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{17}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{17}{2}=\frac{9}{2} x-\frac{17}{2}=-\frac{9}{2}$$

Prirátajte \frac{17}{2} ku obom stranám rovnice.

$$x=13 x=4$$