Vyriešiť -3x^2+5x+2geq0

$$- 3 x ^ { 2 } + 5 x + 2 \geq 0$$

Riešenie pre x

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{1}{3},2\end{bmatrix}$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Vynásobte nerovnosť číslom -1 tak, aby bol koeficient najvyššej mocniny vo výraze -3x^{2}+5x+2 kladný. Vzhľadom na to, že hodnota -1 je záporná, smer znaku nerovnosti sa zmení.

$$3x^{2}-5x-2\leq 0$$

Ak chcete nerovnosť vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory. Kvadratický mnohočlen možno rozložiť na faktory použitím transformácie ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), pričom x_{1} a x_{2} sú riešeniami kvadratickej rovnice ax^{2}+bx+c=0.

$$3x^{2}-5x-2=0$$

Všetky rovnice vo formulári ax^{2}+bx+c=0 je možné riešiť pomocou vzorca pre kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V kvadratickej rovnici nahraďte 3 výrazom a, -5 výrazom b a -2 výrazom c.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\left(-2\right)}}{2\times 3}$$

Urobte výpočty.

$$x=\frac{5±7}{6}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{5±7}{6}, ak ± je plus a ak ± je mínus.

$$x=2 x=-\frac{1}{3}$$

Zapíšte nerovnosť pomocou získaných riešení.

$$3\left(x-2\right)\left(x+\frac{1}{3}\right)\leq 0$$

Ak má byť výsledok súčinu ≤0, jedna z hodnôt výrazov x-2 a x+\frac{1}{3} musí byť ≥0 a druhá musí byť ≤0. Zvážme prípad, keď x-2\geq 0 a x+\frac{1}{3}\leq 0.

$$x-2\geq 0 x+\frac{1}{3}\leq 0$$

Toto má hodnotu False pre každú premennú x.

$$x\in \emptyset$$

Zvážme prípad, keď x-2\leq 0 a x+\frac{1}{3}\geq 0.

$$x+\frac{1}{3}\geq 0 x-2\leq 0$$

Riešenie, ktoré platí pre obe nerovnosti, je x\in \left[-\frac{1}{3},2\right].

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{1}{3},2\end{bmatrix}$$

Konečné riešenie získame kombináciou oboch získaných riešení.

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{1}{3},2\end{bmatrix}$$