Vyriešiť -3(2x-1)+(x+1)(x-1)-5(x+2)=1

$$- 3 ( 2 x - 1 ) + ( x + 1 ) ( x - 1 ) - 5 ( x + 2 ) = 1$$

Riešenie pre x

$$x = \frac{\sqrt{157} + 11}{2} \approx 11,764982043$$

$$x=\frac{11-\sqrt{157}}{2}\approx -0,764982043$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Použite distributívny zákon na vynásobenie -3 a 2x-1.

$$-6x+3+\left(x+1\right)\left(x-1\right)-5\left(x+2\right)=1$$

Zvážte \left(x+1\right)\left(x-1\right). Násobenie je možné vyjadriť rôznymi mocninami pomocou pravidla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Umocnite číslo 1.

$$-6x+3+x^{2}-1-5\left(x+2\right)=1$$

Odčítajte 1 z 3 a dostanete 2.

$$-6x+2+x^{2}-5\left(x+2\right)=1$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie -5 a x+2.

$$-6x+2+x^{2}-5x-10=1$$

Skombinovaním -6x a -5x získate -11x.

$$-11x+2+x^{2}-10=1$$

Odčítajte 10 z 2 a dostanete -8.

$$-11x-8+x^{2}=1$$

Odčítajte 1 z oboch strán.

$$-11x-8+x^{2}-1=0$$

Odčítajte 1 z -8 a dostanete -9.

$$-11x-9+x^{2}=0$$

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$x^{2}-11x-9=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 1 za a, -11 za b a -9 za c.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\left(-9\right)}}{2}$$

Umocnite číslo -11.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\left(-9\right)}}{2}$$

Vynásobte číslo -4 číslom -9.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+36}}{2}$$

Prirátajte 121 ku 36.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{157}}{2}$$

Opak čísla -11 je 11.

$$x=\frac{11±\sqrt{157}}{2}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{11±\sqrt{157}}{2}, keď ± je plus. Prirátajte 11 ku \sqrt{157}.

$$x=\frac{\sqrt{157}+11}{2}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{11±\sqrt{157}}{2}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo \sqrt{157} od čísla 11.

$$x=\frac{11-\sqrt{157}}{2}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{\sqrt{157}+11}{2} x=\frac{11-\sqrt{157}}{2}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Použite distributívny zákon na vynásobenie -3 a 2x-1.

$$-6x+3+\left(x+1\right)\left(x-1\right)-5\left(x+2\right)=1$$

Zvážte \left(x+1\right)\left(x-1\right). Násobenie je možné vyjadriť rôznymi mocninami pomocou pravidla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Umocnite číslo 1.

$$-6x+3+x^{2}-1-5\left(x+2\right)=1$$

Odčítajte 1 z 3 a dostanete 2.

$$-6x+2+x^{2}-5\left(x+2\right)=1$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie -5 a x+2.

$$-6x+2+x^{2}-5x-10=1$$

Skombinovaním -6x a -5x získate -11x.

$$-11x+2+x^{2}-10=1$$

Odčítajte 10 z 2 a dostanete -8.

$$-11x-8+x^{2}=1$$

Pridať položku 8 na obidve snímky.

$$-11x+x^{2}=1+8$$

Sčítaním 1 a 8 získate 9.

$$-11x+x^{2}=9$$

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-11x=9$$

Číslo -11, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{11}{2}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{11}{2}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-11x+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=9+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{11}{2} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=9+\frac{121}{4}$$

Prirátajte 9 ku \frac{121}{4}.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=\frac{157}{4}$$

Rozložte x^{2}-11x+\frac{121}{4} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{157}{4}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{157}{4}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{11}{2}=\frac{\sqrt{157}}{2} x-\frac{11}{2}=-\frac{\sqrt{157}}{2}$$

Prirátajte \frac{11}{2} ku obom stranám rovnice.

$$x=\frac{\sqrt{157}+11}{2} x=\frac{11-\sqrt{157}}{2}$$