Vyriešiť -231x^2-42x+67=0

$$- 231 x ^ { 2 } - 42 x + 67 = 0$$

Riešenie pre x

$$x=\frac{\sqrt{15918}}{231}-\frac{1}{11}\approx 0,455266479$$

$$x=-\frac{\sqrt{15918}}{231}-\frac{1}{11}\approx -0,637084661$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$-231x^{2}-42x+67=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte -231 za a, -42 za b a 67 za c.

$$x=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{\left(-42\right)^{2}-4\left(-231\right)\times 67}}{2\left(-231\right)}$$

Umocnite číslo -42.

$$x=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{1764-4\left(-231\right)\times 67}}{2\left(-231\right)}$$

Vynásobte číslo -4 číslom -231.

$$x=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{1764+924\times 67}}{2\left(-231\right)}$$

Vynásobte číslo 924 číslom 67.

$$x=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{1764+61908}}{2\left(-231\right)}$$

Prirátajte 1764 ku 61908.

$$x=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{63672}}{2\left(-231\right)}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 63672.

$$x=\frac{-\left(-42\right)±2\sqrt{15918}}{2\left(-231\right)}$$

Opak čísla -42 je 42.

$$x=\frac{42±2\sqrt{15918}}{2\left(-231\right)}$$

Vynásobte číslo 2 číslom -231.

$$x=\frac{42±2\sqrt{15918}}{-462}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{42±2\sqrt{15918}}{-462}, keď ± je plus. Prirátajte 42 ku 2\sqrt{15918}.

$$x=\frac{2\sqrt{15918}+42}{-462}$$

Vydeľte číslo 42+2\sqrt{15918} číslom -462.

$$x=-\frac{\sqrt{15918}}{231}-\frac{1}{11}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{42±2\sqrt{15918}}{-462}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 2\sqrt{15918} od čísla 42.

$$x=\frac{42-2\sqrt{15918}}{-462}$$

Vydeľte číslo 42-2\sqrt{15918} číslom -462.

$$x=\frac{\sqrt{15918}}{231}-\frac{1}{11}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=-\frac{\sqrt{15918}}{231}-\frac{1}{11} x=\frac{\sqrt{15918}}{231}-\frac{1}{11}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$-231x^{2}-42x+67=0$$

Odčítajte hodnotu 67 od oboch strán rovnice.

$$-231x^{2}-42x+67-67=-67$$

Výsledkom odčítania čísla 67 od seba samého bude 0.

$$-231x^{2}-42x=-67$$

Vydeľte obe strany hodnotou -231.

$$\frac{-231x^{2}-42x}{-231}=-\frac{67}{-231}$$

Delenie číslom -231 ruší násobenie číslom -231.

$$x^{2}+\left(-\frac{42}{-231}\right)x=-\frac{67}{-231}$$

Vykráťte zlomok \frac{-42}{-231} na základný tvar extrakciou a elimináciou 21.

$$x^{2}+\frac{2}{11}x=-\frac{67}{-231}$$

Vydeľte číslo -67 číslom -231.

$$x^{2}+\frac{2}{11}x=\frac{67}{231}$$

Číslo \frac{2}{11}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok \frac{1}{11}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu \frac{1}{11}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}+\frac{2}{11}x+\left(\frac{1}{11}\right)^{2}=\frac{67}{231}+\left(\frac{1}{11}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok \frac{1}{11} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}+\frac{2}{11}x+\frac{1}{121}=\frac{67}{231}+\frac{1}{121}$$

Prirátajte \frac{67}{231} ku \frac{1}{121} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}+\frac{2}{11}x+\frac{1}{121}=\frac{758}{2541}$$

Rozložte x^{2}+\frac{2}{11}x+\frac{1}{121} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{11}\right)^{2}=\frac{758}{2541}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{11}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{758}{2541}}$$

Zjednodušte.

$$x+\frac{1}{11}=\frac{\sqrt{15918}}{231} x+\frac{1}{11}=-\frac{\sqrt{15918}}{231}$$

Odčítajte hodnotu \frac{1}{11} od oboch strán rovnice.

$$x=\frac{\sqrt{15918}}{231}-\frac{1}{11} x=-\frac{\sqrt{15918}}{231}-\frac{1}{11}$$