Vyriešiť -2x^2+12x-14>0

$$- 2 x ^ { 2 } + 12 x - 14 > 0$$

Riešenie pre x

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Vynásobte nerovnosť číslom -1 tak, aby bol koeficient najvyššej mocniny vo výraze -2x^{2}+12x-14 kladný. Vzhľadom na to, že pre -1 platí <0, smer znaku nerovnosti sa zmení.

$$2x^{2}-12x+14<0$$

Ak chcete nerovnosť vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory. Kvadratický mnohočlen možno rozložiť na faktory použitím transformácie ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), pričom x_{1} a x_{2} sú riešeniami kvadratickej rovnice ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}-12x+14=0$$

Všetky rovnice vo formulári ax^{2}+bx+c=0 je možné riešiť pomocou vzorca pre kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V kvadratickej rovnici nahraďte 2 výrazom a, -12 výrazom b a 14 výrazom c.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 2\times 14}}{2\times 2}$$

Urobte výpočty.

$$x=\frac{12±4\sqrt{2}}{4}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{12±4\sqrt{2}}{4}, ak ± je plus a ak ± je mínus.

$$x=\sqrt{2}+3 x=3-\sqrt{2}$$

Zapíšte nerovnosť pomocou získaných riešení.

$$2\left(x-\left(\sqrt{2}+3\right)\right)\left(x-\left(3-\sqrt{2}\right)\right)<0$$

Ak má byť výsledok súčinu záporný, výrazy x-\left(\sqrt{2}+3\right) a x-\left(3-\sqrt{2}\right) musia mať opačné znamienka. Zvážte, aký bude výsledok, ak je výraz x-\left(\sqrt{2}+3\right) kladný a výraz x-\left(3-\sqrt{2}\right) záporný.

$$x-\left(\sqrt{2}+3\right)>0 x-\left(3-\sqrt{2}\right)<0$$

Toto má hodnotu False pre každú premennú x.

$$x\in \emptyset$$

Zvážte, aký bude výsledok, ak je výraz x-\left(3-\sqrt{2}\right) kladný a výraz x-\left(\sqrt{2}+3\right) záporný.

$$x-\left(3-\sqrt{2}\right)>0 x-\left(\sqrt{2}+3\right)<0$$

Riešenie, ktoré platí pre obe nerovnosti, je x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right).

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

Konečné riešenie získame kombináciou oboch získaných riešení.

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$