Vyriešiť -16t^2+64t+80=128

$$- 16 t ^ { 2 } + 64 t + 80 = 128$$

Riešenie pre t

$$t=1$$

$$t=3$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Odčítajte 128 z oboch strán.

$$-16t^{2}+64t+80-128=0$$

Odčítajte 128 z 80 a dostanete -48.

$$-16t^{2}+64t-48=0$$

Vydeľte obe strany hodnotou 16.

$$-t^{2}+4t-3=0$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare -t^{2}+at+bt-3. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=4 ab=-\left(-3\right)=3$$

Keďže ab je kladné, a a b majú rovnaký znak. Keďže a+b je kladné, a a b sú oba kladné. Jedinou takou dvojicou je systémové riešenie.

$$a=3 b=1$$

Zapíšte -t^{2}+4t-3 ako výraz \left(-t^{2}+3t\right)+\left(t-3\right).

$$\left(-t^{2}+3t\right)+\left(t-3\right)$$

Vyčleňte -t z výrazu -t^{2}+3t.

$$-t\left(t-3\right)+t-3$$

Vyberte spoločný člen t-3 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(t-3\right)\left(-t+1\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte t-3=0 a -t+1=0.

$$t=3 t=1$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$-16t^{2}+64t+80=128$$

Odčítajte hodnotu 128 od oboch strán rovnice.

$$-16t^{2}+64t+80-128=128-128$$

Výsledkom odčítania čísla 128 od seba samého bude 0.

$$-16t^{2}+64t+80-128=0$$

Odčítajte číslo 128 od čísla 80.

$$-16t^{2}+64t-48=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte -16 za a, 64 za b a -48 za c.

$$t=\frac{-64±\sqrt{64^{2}-4\left(-16\right)\left(-48\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Umocnite číslo 64.

$$t=\frac{-64±\sqrt{4096-4\left(-16\right)\left(-48\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Vynásobte číslo -4 číslom -16.

$$t=\frac{-64±\sqrt{4096+64\left(-48\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Vynásobte číslo 64 číslom -48.

$$t=\frac{-64±\sqrt{4096-3072}}{2\left(-16\right)}$$

Prirátajte 4096 ku -3072.

$$t=\frac{-64±\sqrt{1024}}{2\left(-16\right)}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 1024.

$$t=\frac{-64±32}{2\left(-16\right)}$$

Vynásobte číslo 2 číslom -16.

$$t=\frac{-64±32}{-32}$$

Vyriešte rovnicu t=\frac{-64±32}{-32}, keď ± je plus. Prirátajte -64 ku 32.

$$t=-\frac{32}{-32}$$

Vydeľte číslo -32 číslom -32.

$$t=1$$

Vyriešte rovnicu t=\frac{-64±32}{-32}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 32 od čísla -64.

$$t=-\frac{96}{-32}$$

Vydeľte číslo -96 číslom -32.

$$t=3$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$t=1 t=3$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$-16t^{2}+64t+80=128$$

Odčítajte hodnotu 80 od oboch strán rovnice.

$$-16t^{2}+64t+80-80=128-80$$

Výsledkom odčítania čísla 80 od seba samého bude 0.

$$-16t^{2}+64t=128-80$$

Odčítajte číslo 80 od čísla 128.

$$-16t^{2}+64t=48$$

Vydeľte obe strany hodnotou -16.

$$\frac{-16t^{2}+64t}{-16}=\frac{48}{-16}$$

Delenie číslom -16 ruší násobenie číslom -16.

$$t^{2}+\frac{64}{-16}t=\frac{48}{-16}$$

Vydeľte číslo 64 číslom -16.

$$t^{2}-4t=\frac{48}{-16}$$

Vydeľte číslo 48 číslom -16.

$$t^{2}-4t=-3$$

Číslo -4, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -2. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -2. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$t^{2}-4t+\left(-2\right)^{2}=-3+\left(-2\right)^{2}$$

Umocnite číslo -2.

$$t^{2}-4t+4=-3+4$$

Prirátajte -3 ku 4.

$$t^{2}-4t+4=1$$

Rozložte t^{2}-4t+4 na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-2\right)^{2}=1$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(t-2\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Zjednodušte.

$$t-2=1 t-2=-1$$

Prirátajte 2 ku obom stranám rovnice.

$$t=3 t=1$$