Vyriešiť -x^2+45x-200=124

$$- { x }^{ 2 } +45x-200=124$$

Riešenie pre x

$$x=9$$

$$x=36$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Odčítajte 124 z oboch strán.

$$-x^{2}+45x-200-124=0$$

Odčítajte 124 z -200 a dostanete -324.

$$-x^{2}+45x-324=0$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare -x^{2}+ax+bx-324. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=45 ab=-\left(-324\right)=324$$

Keďže ab je kladné, a a b majú rovnaký znak. Keďže a+b je kladné, a a b sú oba kladné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin 324.

$$1,324 2,162 3,108 4,81 6,54 9,36 12,27 18,18$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$1+324=325 2+162=164 3+108=111 4+81=85 6+54=60 9+36=45 12+27=39 18+18=36$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje 45 súčtu.

$$a=36 b=9$$

Zapíšte -x^{2}+45x-324 ako výraz \left(-x^{2}+36x\right)+\left(9x-324\right).

$$\left(-x^{2}+36x\right)+\left(9x-324\right)$$

-x na prvej skupine a 9 v druhá skupina.

$$-x\left(x-36\right)+9\left(x-36\right)$$

Vyberte spoločný člen x-36 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(x-36\right)\left(-x+9\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte x-36=0 a -x+9=0.

$$x=36 x=9$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$-x^{2}+45x-200=124$$

Odčítajte hodnotu 124 od oboch strán rovnice.

$$-x^{2}+45x-200-124=124-124$$

Výsledkom odčítania čísla 124 od seba samého bude 0.

$$-x^{2}+45x-200-124=0$$

Odčítajte číslo 124 od čísla -200.

$$-x^{2}+45x-324=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte -1 za a, 45 za b a -324 za c.

$$x=\frac{-45±\sqrt{45^{2}-4\left(-1\right)\left(-324\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Umocnite číslo 45.

$$x=\frac{-45±\sqrt{2025-4\left(-1\right)\left(-324\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Vynásobte číslo -4 číslom -1.

$$x=\frac{-45±\sqrt{2025+4\left(-324\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Vynásobte číslo 4 číslom -324.

$$x=\frac{-45±\sqrt{2025-1296}}{2\left(-1\right)}$$

Prirátajte 2025 ku -1296.

$$x=\frac{-45±\sqrt{729}}{2\left(-1\right)}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 729.

$$x=\frac{-45±27}{2\left(-1\right)}$$

Vynásobte číslo 2 číslom -1.

$$x=\frac{-45±27}{-2}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-45±27}{-2}, keď ± je plus. Prirátajte -45 ku 27.

$$x=-\frac{18}{-2}$$

Vydeľte číslo -18 číslom -2.

$$x=9$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-45±27}{-2}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 27 od čísla -45.

$$x=-\frac{72}{-2}$$

Vydeľte číslo -72 číslom -2.

$$x=36$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=9 x=36$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+45x-200=124$$

Prirátajte 200 ku obom stranám rovnice.

$$-x^{2}+45x-200-\left(-200\right)=124-\left(-200\right)$$

Výsledkom odčítania čísla -200 od seba samého bude 0.

$$-x^{2}+45x=124-\left(-200\right)$$

Odčítajte číslo -200 od čísla 124.

$$-x^{2}+45x=324$$

Vydeľte obe strany hodnotou -1.

$$\frac{-x^{2}+45x}{-1}=\frac{324}{-1}$$

Delenie číslom -1 ruší násobenie číslom -1.

$$x^{2}+\frac{45}{-1}x=\frac{324}{-1}$$

Vydeľte číslo 45 číslom -1.

$$x^{2}-45x=\frac{324}{-1}$$

Vydeľte číslo 324 číslom -1.

$$x^{2}-45x=-324$$

Číslo -45, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{45}{2}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{45}{2}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-45x+\left(-\frac{45}{2}\right)^{2}=-324+\left(-\frac{45}{2}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{45}{2} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-45x+\frac{2025}{4}=-324+\frac{2025}{4}$$

Prirátajte -324 ku \frac{2025}{4}.

$$x^{2}-45x+\frac{2025}{4}=\frac{729}{4}$$

Rozložte x^{2}-45x+\frac{2025}{4} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{45}{2}\right)^{2}=\frac{729}{4}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{45}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{729}{4}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{45}{2}=\frac{27}{2} x-\frac{45}{2}=-\frac{27}{2}$$

Prirátajte \frac{45}{2} ku obom stranám rovnice.

$$x=36 x=9$$