Vyriešiť -1/5x^2+3x+16/5=0

$$- \frac{ 1 }{ 5 } { x }^{ 2 } +3x+ \frac{ 16 }{ 5 } =0$$

Riešenie pre x

$$x=-1$$

$$x=16$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$-\frac{1}{5}x^{2}+3x+\frac{16}{5}=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte -\frac{1}{5} za a, 3 za b a \frac{16}{5} za c.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-\frac{1}{5}\right)\times \frac{16}{5}}}{2\left(-\frac{1}{5}\right)}$$

Umocnite číslo 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-\frac{1}{5}\right)\times \frac{16}{5}}}{2\left(-\frac{1}{5}\right)}$$

Vynásobte číslo -4 číslom -\frac{1}{5}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+\frac{4}{5}\times \frac{16}{5}}}{2\left(-\frac{1}{5}\right)}$$

Vynásobte zlomok \frac{4}{5} zlomkom \frac{16}{5} tak, že vynásobíte čitateľa čitateľom a menovateľa menovateľom. Ak je to možné, zlomok potom čo najviac vykráťte.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+\frac{64}{25}}}{2\left(-\frac{1}{5}\right)}$$

Prirátajte 9 ku \frac{64}{25}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{\frac{289}{25}}}{2\left(-\frac{1}{5}\right)}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla \frac{289}{25}.

$$x=\frac{-3±\frac{17}{5}}{2\left(-\frac{1}{5}\right)}$$

Vynásobte číslo 2 číslom -\frac{1}{5}.

$$x=\frac{-3±\frac{17}{5}}{-\frac{2}{5}}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-3±\frac{17}{5}}{-\frac{2}{5}}, keď ± je plus. Prirátajte -3 ku \frac{17}{5}.

$$x=\frac{\frac{2}{5}}{-\frac{2}{5}}$$

Vydeľte číslo \frac{2}{5} zlomkom -\frac{2}{5} tak, že číslo \frac{2}{5} vynásobíte prevrátenou hodnotou zlomku -\frac{2}{5}.

$$x=-1$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-3±\frac{17}{5}}{-\frac{2}{5}}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo \frac{17}{5} od čísla -3.

$$x=-\frac{\frac{32}{5}}{-\frac{2}{5}}$$

Vydeľte číslo -\frac{32}{5} zlomkom -\frac{2}{5} tak, že číslo -\frac{32}{5} vynásobíte prevrátenou hodnotou zlomku -\frac{2}{5}.

$$x=16$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=-1 x=16$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$-\frac{1}{5}x^{2}+3x+\frac{16}{5}=0$$

Odčítajte hodnotu \frac{16}{5} od oboch strán rovnice.

$$-\frac{1}{5}x^{2}+3x+\frac{16}{5}-\frac{16}{5}=-\frac{16}{5}$$

Výsledkom odčítania čísla \frac{16}{5} od seba samého bude 0.

$$-\frac{1}{5}x^{2}+3x=-\frac{16}{5}$$

Vynásobte obe strany hodnotou -5.

$$\frac{-\frac{1}{5}x^{2}+3x}{-\frac{1}{5}}=-\frac{\frac{16}{5}}{-\frac{1}{5}}$$

Delenie číslom -\frac{1}{5} ruší násobenie číslom -\frac{1}{5}.

$$x^{2}+\frac{3}{-\frac{1}{5}}x=-\frac{\frac{16}{5}}{-\frac{1}{5}}$$

Vydeľte číslo 3 zlomkom -\frac{1}{5} tak, že číslo 3 vynásobíte prevrátenou hodnotou zlomku -\frac{1}{5}.

$$x^{2}-15x=-\frac{\frac{16}{5}}{-\frac{1}{5}}$$

Vydeľte číslo -\frac{16}{5} zlomkom -\frac{1}{5} tak, že číslo -\frac{16}{5} vynásobíte prevrátenou hodnotou zlomku -\frac{1}{5}.

$$x^{2}-15x=16$$

Číslo -15, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{15}{2}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{15}{2}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-15x+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=16+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{15}{2} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=16+\frac{225}{4}$$

Prirátajte 16 ku \frac{225}{4}.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=\frac{289}{4}$$

Rozložte x^{2}-15x+\frac{225}{4} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{289}{4}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{4}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{15}{2}=\frac{17}{2} x-\frac{15}{2}=-\frac{17}{2}$$

Prirátajte \frac{15}{2} ku obom stranám rovnice.

$$x=16 x=-1$$