Vyriešiť -1/3(x+2)(x-1/3)>0

$$- \frac { 1 } { 3 } ( x + 2 ) ( x - \frac { 1 } { 3 } ) > 0$$

Riešenie pre x

$$x\in \left(-2,\frac{1}{3}\right)$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Použite distributívny zákon na vynásobenie -\frac{1}{3} a x+2.

$$\left(-\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)>0$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie výrazov -\frac{1}{3}x-\frac{2}{3} a x-\frac{1}{3} a zlúčenie podobných členov.

$$-\frac{1}{3}x^{2}-\frac{5}{9}x+\frac{2}{9}>0$$

Vynásobte nerovnosť číslom -1 tak, aby bol koeficient najvyššej mocniny vo výraze -\frac{1}{3}x^{2}-\frac{5}{9}x+\frac{2}{9} kladný. Vzhľadom na to, že hodnota -1 je záporná, smer znaku nerovnosti sa zmení.

$$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{5}{9}x-\frac{2}{9}<0$$

Ak chcete nerovnosť vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory. Kvadratický mnohočlen možno rozložiť na faktory použitím transformácie ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), pričom x_{1} a x_{2} sú riešeniami kvadratickej rovnice ax^{2}+bx+c=0.

$$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{5}{9}x-\frac{2}{9}=0$$

Všetky rovnice vo formulári ax^{2}+bx+c=0 je možné riešiť pomocou vzorca pre kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V kvadratickej rovnici nahraďte \frac{1}{3} výrazom a, \frac{5}{9} výrazom b a -\frac{2}{9} výrazom c.

$$x=\frac{-\frac{5}{9}±\sqrt{\left(\frac{5}{9}\right)^{2}-4\times \frac{1}{3}\left(-\frac{2}{9}\right)}}{\frac{1}{3}\times 2}$$

Urobte výpočty.

$$x=\frac{-\frac{5}{9}±\frac{7}{9}}{\frac{2}{3}}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-\frac{5}{9}±\frac{7}{9}}{\frac{2}{3}}, ak ± je plus a ak ± je mínus.

$$x=\frac{1}{3} x=-2$$

Zapíšte nerovnosť pomocou získaných riešení.

$$\frac{1}{3}\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x+2\right)<0$$

Ak má byť výsledok súčinu záporný, výrazy x-\frac{1}{3} a x+2 musia mať opačné znamienka. Zvážte, aký bude výsledok, ak je výraz x-\frac{1}{3} kladný a výraz x+2 záporný.

$$x-\frac{1}{3}>0 x+2<0$$

Toto má hodnotu False pre každú premennú x.

$$x\in \emptyset$$

Zvážte, aký bude výsledok, ak je výraz x+2 kladný a výraz x-\frac{1}{3} záporný.

$$x+2>0 x-\frac{1}{3}<0$$

Riešenie, ktoré platí pre obe nerovnosti, je x\in \left(-2,\frac{1}{3}\right).

$$x\in \left(-2,\frac{1}{3}\right)$$

Konečné riešenie získame kombináciou oboch získaných riešení.

$$x\in \left(-2,\frac{1}{3}\right)$$