Vyriešiť (76-4x)(10+2x)=1080

$$(76-4x)(10+2x)=1080$$

Riešenie pre x

$$x=4$$

$$x=10$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Použite distributívny zákon na vynásobenie výrazov 76-4x a 10+2x a zlúčenie podobných členov.

$$760+112x-8x^{2}=1080$$

Odčítajte 1080 z oboch strán.

$$760+112x-8x^{2}-1080=0$$

Odčítajte 1080 z 760 a dostanete -320.

$$-320+112x-8x^{2}=0$$

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$-8x^{2}+112x-320=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte -8 za a, 112 za b a -320 za c.

$$x=\frac{-112±\sqrt{112^{2}-4\left(-8\right)\left(-320\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Umocnite číslo 112.

$$x=\frac{-112±\sqrt{12544-4\left(-8\right)\left(-320\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Vynásobte číslo -4 číslom -8.

$$x=\frac{-112±\sqrt{12544+32\left(-320\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Vynásobte číslo 32 číslom -320.

$$x=\frac{-112±\sqrt{12544-10240}}{2\left(-8\right)}$$

Prirátajte 12544 ku -10240.

$$x=\frac{-112±\sqrt{2304}}{2\left(-8\right)}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 2304.

$$x=\frac{-112±48}{2\left(-8\right)}$$

Vynásobte číslo 2 číslom -8.

$$x=\frac{-112±48}{-16}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-112±48}{-16}, keď ± je plus. Prirátajte -112 ku 48.

$$x=-\frac{64}{-16}$$

Vydeľte číslo -64 číslom -16.

$$x=4$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-112±48}{-16}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 48 od čísla -112.

$$x=-\frac{160}{-16}$$

Vydeľte číslo -160 číslom -16.

$$x=10$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=4 x=10$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Použite distributívny zákon na vynásobenie výrazov 76-4x a 10+2x a zlúčenie podobných členov.

$$760+112x-8x^{2}=1080$$

Odčítajte 760 z oboch strán.

$$112x-8x^{2}=1080-760$$

Odčítajte 760 z 1080 a dostanete 320.

$$112x-8x^{2}=320$$

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$-8x^{2}+112x=320$$

Vydeľte obe strany hodnotou -8.

$$\frac{-8x^{2}+112x}{-8}=\frac{320}{-8}$$

Delenie číslom -8 ruší násobenie číslom -8.

$$x^{2}+\frac{112}{-8}x=\frac{320}{-8}$$

Vydeľte číslo 112 číslom -8.

$$x^{2}-14x=\frac{320}{-8}$$

Vydeľte číslo 320 číslom -8.

$$x^{2}-14x=-40$$

Číslo -14, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -7. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -7. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-14x+\left(-7\right)^{2}=-40+\left(-7\right)^{2}$$

Umocnite číslo -7.

$$x^{2}-14x+49=-40+49$$

Prirátajte -40 ku 49.

$$x^{2}-14x+49=9$$

Rozložte x^{2}-14x+49 na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-7\right)^{2}=9$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-7\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Zjednodušte.

$$x-7=3 x-7=-3$$

Prirátajte 7 ku obom stranám rovnice.

$$x=10 x=4$$