Vyriešiť (20+x)(100-x)=2375

$$(20+x)(100-x)=2375$$

Riešenie pre x

$$x=5$$

$$x=75$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Použite distributívny zákon na vynásobenie výrazov 20+x a 100-x a zlúčenie podobných členov.

$$2000+80x-x^{2}=2375$$

Odčítajte 2375 z oboch strán.

$$2000+80x-x^{2}-2375=0$$

Odčítajte 2375 z 2000 a dostanete -375.

$$-375+80x-x^{2}=0$$

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$-x^{2}+80x-375=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte -1 za a, 80 za b a -375 za c.

$$x=\frac{-80±\sqrt{80^{2}-4\left(-1\right)\left(-375\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Umocnite číslo 80.

$$x=\frac{-80±\sqrt{6400-4\left(-1\right)\left(-375\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Vynásobte číslo -4 číslom -1.

$$x=\frac{-80±\sqrt{6400+4\left(-375\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Vynásobte číslo 4 číslom -375.

$$x=\frac{-80±\sqrt{6400-1500}}{2\left(-1\right)}$$

Prirátajte 6400 ku -1500.

$$x=\frac{-80±\sqrt{4900}}{2\left(-1\right)}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 4900.

$$x=\frac{-80±70}{2\left(-1\right)}$$

Vynásobte číslo 2 číslom -1.

$$x=\frac{-80±70}{-2}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-80±70}{-2}, keď ± je plus. Prirátajte -80 ku 70.

$$x=-\frac{10}{-2}$$

Vydeľte číslo -10 číslom -2.

$$x=5$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-80±70}{-2}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 70 od čísla -80.

$$x=-\frac{150}{-2}$$

Vydeľte číslo -150 číslom -2.

$$x=75$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=5 x=75$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Použite distributívny zákon na vynásobenie výrazov 20+x a 100-x a zlúčenie podobných členov.

$$2000+80x-x^{2}=2375$$

Odčítajte 2000 z oboch strán.

$$80x-x^{2}=2375-2000$$

Odčítajte 2000 z 2375 a dostanete 375.

$$80x-x^{2}=375$$

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+80x=375$$

Vydeľte obe strany hodnotou -1.

$$\frac{-x^{2}+80x}{-1}=\frac{375}{-1}$$

Delenie číslom -1 ruší násobenie číslom -1.

$$x^{2}+\frac{80}{-1}x=\frac{375}{-1}$$

Vydeľte číslo 80 číslom -1.

$$x^{2}-80x=\frac{375}{-1}$$

Vydeľte číslo 375 číslom -1.

$$x^{2}-80x=-375$$

Číslo -80, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -40. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -40. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-80x+\left(-40\right)^{2}=-375+\left(-40\right)^{2}$$

Umocnite číslo -40.

$$x^{2}-80x+1600=-375+1600$$

Prirátajte -375 ku 1600.

$$x^{2}-80x+1600=1225$$

Rozložte x^{2}-80x+1600 na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-40\right)^{2}=1225$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-40\right)^{2}}=\sqrt{1225}$$

Zjednodušte.

$$x-40=35 x-40=-35$$

Prirátajte 40 ku obom stranám rovnice.

$$x=75 x=5$$