Vyriešiť (-y^2+3y+5=0)

$$(- { y }^{ 2 } +3y+5=0)$$

Riešenie pre y

$$y = \frac{\sqrt{29} + 3}{2} \approx 4,192582404$$

$$y=\frac{3-\sqrt{29}}{2}\approx -1,192582404$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$-y^{2}+3y+5=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte -1 za a, 3 za b a 5 za c.

$$y=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\times 5}}{2\left(-1\right)}$$

Umocnite číslo 3.

$$y=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\times 5}}{2\left(-1\right)}$$

Vynásobte číslo -4 číslom -1.

$$y=\frac{-3±\sqrt{9+4\times 5}}{2\left(-1\right)}$$

Vynásobte číslo 4 číslom 5.

$$y=\frac{-3±\sqrt{9+20}}{2\left(-1\right)}$$

Prirátajte 9 ku 20.

$$y=\frac{-3±\sqrt{29}}{2\left(-1\right)}$$

Vynásobte číslo 2 číslom -1.

$$y=\frac{-3±\sqrt{29}}{-2}$$

Vyriešte rovnicu y=\frac{-3±\sqrt{29}}{-2}, keď ± je plus. Prirátajte -3 ku \sqrt{29}.

$$y=\frac{\sqrt{29}-3}{-2}$$

Vydeľte číslo -3+\sqrt{29} číslom -2.

$$y=\frac{3-\sqrt{29}}{2}$$

Vyriešte rovnicu y=\frac{-3±\sqrt{29}}{-2}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo \sqrt{29} od čísla -3.

$$y=\frac{-\sqrt{29}-3}{-2}$$

Vydeľte číslo -3-\sqrt{29} číslom -2.

$$y=\frac{\sqrt{29}+3}{2}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$y=\frac{3-\sqrt{29}}{2} y=\frac{\sqrt{29}+3}{2}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$-y^{2}+3y+5=0$$

Odčítajte hodnotu 5 od oboch strán rovnice.

$$-y^{2}+3y+5-5=-5$$

Výsledkom odčítania čísla 5 od seba samého bude 0.

$$-y^{2}+3y=-5$$

Vydeľte obe strany hodnotou -1.

$$\frac{-y^{2}+3y}{-1}=-\frac{5}{-1}$$

Delenie číslom -1 ruší násobenie číslom -1.

$$y^{2}+\frac{3}{-1}y=-\frac{5}{-1}$$

Vydeľte číslo 3 číslom -1.

$$y^{2}-3y=-\frac{5}{-1}$$

Vydeľte číslo -5 číslom -1.

$$y^{2}-3y=5$$

Číslo -3, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{3}{2}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{3}{2}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$y^{2}-3y+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=5+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{3}{2} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$y^{2}-3y+\frac{9}{4}=5+\frac{9}{4}$$

Prirátajte 5 ku \frac{9}{4}.

$$y^{2}-3y+\frac{9}{4}=\frac{29}{4}$$

Rozložte y^{2}-3y+\frac{9}{4} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{29}{4}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(y-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{29}{4}}$$

Zjednodušte.

$$y-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{29}}{2} y-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{29}}{2}$$

Prirátajte \frac{3}{2} ku obom stranám rovnice.

$$y=\frac{\sqrt{29}+3}{2} y=\frac{3-\sqrt{29}}{2}$$