Vyriešiť (y-4)^2=2y^2-11y-12

$$( y - 4 ) ^ { 2 } = 2 y ^ { 2 } - 11 y - 12$$

Riešenie pre y

$$y=-4$$

$$y=7$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Na rozloženie výrazu \left(y-4\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$y^{2}-8y+16=2y^{2}-11y-12$$

Odčítajte 2y^{2} z oboch strán.

$$y^{2}-8y+16-2y^{2}=-11y-12$$

Skombinovaním y^{2} a -2y^{2} získate -y^{2}.

$$-y^{2}-8y+16=-11y-12$$

Pridať položku 11y na obidve snímky.

$$-y^{2}-8y+16+11y=-12$$

Skombinovaním -8y a 11y získate 3y.

$$-y^{2}+3y+16=-12$$

Pridať položku 12 na obidve snímky.

$$-y^{2}+3y+16+12=0$$

Sčítaním 16 a 12 získate 28.

$$-y^{2}+3y+28=0$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare -y^{2}+ay+by+28. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=3 ab=-28=-28$$

Keďže ab je záporná, a a b majú protiľahlom značky. Keďže a+b je kladná hodnota, kladné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako záporné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -28.

$$-1,28 -2,14 -4,7$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$-1+28=27 -2+14=12 -4+7=3$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje 3 súčtu.

$$a=7 b=-4$$

Zapíšte -y^{2}+3y+28 ako výraz \left(-y^{2}+7y\right)+\left(-4y+28\right).

$$\left(-y^{2}+7y\right)+\left(-4y+28\right)$$

-y na prvej skupine a -4 v druhá skupina.

$$-y\left(y-7\right)-4\left(y-7\right)$$

Vyberte spoločný člen y-7 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(y-7\right)\left(-y-4\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte y-7=0 a -y-4=0.

$$y=7 y=-4$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Na rozloženie výrazu \left(y-4\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$y^{2}-8y+16=2y^{2}-11y-12$$

Odčítajte 2y^{2} z oboch strán.

$$y^{2}-8y+16-2y^{2}=-11y-12$$

Skombinovaním y^{2} a -2y^{2} získate -y^{2}.

$$-y^{2}-8y+16=-11y-12$$

Pridať položku 11y na obidve snímky.

$$-y^{2}-8y+16+11y=-12$$

Skombinovaním -8y a 11y získate 3y.

$$-y^{2}+3y+16=-12$$

Pridať položku 12 na obidve snímky.

$$-y^{2}+3y+16+12=0$$

Sčítaním 16 a 12 získate 28.

$$-y^{2}+3y+28=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte -1 za a, 3 za b a 28 za c.

$$y=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\times 28}}{2\left(-1\right)}$$

Umocnite číslo 3.

$$y=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\times 28}}{2\left(-1\right)}$$

Vynásobte číslo -4 číslom -1.

$$y=\frac{-3±\sqrt{9+4\times 28}}{2\left(-1\right)}$$

Vynásobte číslo 4 číslom 28.

$$y=\frac{-3±\sqrt{9+112}}{2\left(-1\right)}$$

Prirátajte 9 ku 112.

$$y=\frac{-3±\sqrt{121}}{2\left(-1\right)}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 121.

$$y=\frac{-3±11}{2\left(-1\right)}$$

Vynásobte číslo 2 číslom -1.

$$y=\frac{-3±11}{-2}$$

Vyriešte rovnicu y=\frac{-3±11}{-2}, keď ± je plus. Prirátajte -3 ku 11.

$$y=\frac{8}{-2}$$

Vydeľte číslo 8 číslom -2.

$$y=-4$$

Vyriešte rovnicu y=\frac{-3±11}{-2}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 11 od čísla -3.

$$y=-\frac{14}{-2}$$

Vydeľte číslo -14 číslom -2.

$$y=7$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$y=-4 y=7$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Na rozloženie výrazu \left(y-4\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$y^{2}-8y+16=2y^{2}-11y-12$$

Odčítajte 2y^{2} z oboch strán.

$$y^{2}-8y+16-2y^{2}=-11y-12$$

Skombinovaním y^{2} a -2y^{2} získate -y^{2}.

$$-y^{2}-8y+16=-11y-12$$

Pridať položku 11y na obidve snímky.

$$-y^{2}-8y+16+11y=-12$$

Skombinovaním -8y a 11y získate 3y.

$$-y^{2}+3y+16=-12$$

Odčítajte 16 z oboch strán.

$$-y^{2}+3y=-12-16$$

Odčítajte 16 z -12 a dostanete -28.

$$-y^{2}+3y=-28$$

Vydeľte obe strany hodnotou -1.

$$\frac{-y^{2}+3y}{-1}=-\frac{28}{-1}$$

Delenie číslom -1 ruší násobenie číslom -1.

$$y^{2}+\frac{3}{-1}y=-\frac{28}{-1}$$

Vydeľte číslo 3 číslom -1.

$$y^{2}-3y=-\frac{28}{-1}$$

Vydeľte číslo -28 číslom -1.

$$y^{2}-3y=28$$

Číslo -3, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{3}{2}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{3}{2}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$y^{2}-3y+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=28+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{3}{2} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$y^{2}-3y+\frac{9}{4}=28+\frac{9}{4}$$

Prirátajte 28 ku \frac{9}{4}.

$$y^{2}-3y+\frac{9}{4}=\frac{121}{4}$$

Rozložte y^{2}-3y+\frac{9}{4} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(y-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Zjednodušte.

$$y-\frac{3}{2}=\frac{11}{2} y-\frac{3}{2}=-\frac{11}{2}$$

Prirátajte \frac{3}{2} ku obom stranám rovnice.

$$y=7 y=-4$$