Vyriešiť (x-2)^2-9(x+1)^2=0

$$( x - 2 ) ^ { 2 } - 9 ( x + 1 ) ^ { 2 } = 0$$

Riešenie pre x

$$x=-\frac{1}{4}=-0,25$$

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Na rozloženie výrazu \left(x-2\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$x^{2}-4x+4-9\left(x+1\right)^{2}=0$$

Na rozloženie výrazu \left(x+1\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x^{2}-4x+4-9\left(x^{2}+2x+1\right)=0$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie -9 a x^{2}+2x+1.

$$x^{2}-4x+4-9x^{2}-18x-9=0$$

Skombinovaním x^{2} a -9x^{2} získate -8x^{2}.

$$-8x^{2}-4x+4-18x-9=0$$

Skombinovaním -4x a -18x získate -22x.

$$-8x^{2}-22x+4-9=0$$

Odčítajte 9 z 4 a dostanete -5.

$$-8x^{2}-22x-5=0$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare -8x^{2}+ax+bx-5. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=-22 ab=-8\left(-5\right)=40$$

Keďže ab je kladné, a a b majú rovnaký znak. Keďže a+b je záporná, a a b sú záporné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin 40.

$$-1,-40 -2,-20 -4,-10 -5,-8$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$-1-40=-41 -2-20=-22 -4-10=-14 -5-8=-13$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje -22 súčtu.

$$a=-2 b=-20$$

Zapíšte -8x^{2}-22x-5 ako výraz \left(-8x^{2}-2x\right)+\left(-20x-5\right).

$$\left(-8x^{2}-2x\right)+\left(-20x-5\right)$$

2x na prvej skupine a 5 v druhá skupina.

$$2x\left(-4x-1\right)+5\left(-4x-1\right)$$

Vyberte spoločný člen -4x-1 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(-4x-1\right)\left(2x+5\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte -4x-1=0 a 2x+5=0.

$$x=-\frac{1}{4} x=-\frac{5}{2}$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Na rozloženie výrazu \left(x-2\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$x^{2}-4x+4-9\left(x+1\right)^{2}=0$$

Na rozloženie výrazu \left(x+1\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x^{2}-4x+4-9\left(x^{2}+2x+1\right)=0$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie -9 a x^{2}+2x+1.

$$x^{2}-4x+4-9x^{2}-18x-9=0$$

Skombinovaním x^{2} a -9x^{2} získate -8x^{2}.

$$-8x^{2}-4x+4-18x-9=0$$

Skombinovaním -4x a -18x získate -22x.

$$-8x^{2}-22x+4-9=0$$

Odčítajte 9 z 4 a dostanete -5.

$$-8x^{2}-22x-5=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte -8 za a, -22 za b a -5 za c.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{\left(-22\right)^{2}-4\left(-8\right)\left(-5\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Umocnite číslo -22.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-4\left(-8\right)\left(-5\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Vynásobte číslo -4 číslom -8.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484+32\left(-5\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Vynásobte číslo 32 číslom -5.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-160}}{2\left(-8\right)}$$

Prirátajte 484 ku -160.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{324}}{2\left(-8\right)}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 324.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±18}{2\left(-8\right)}$$

Opak čísla -22 je 22.

$$x=\frac{22±18}{2\left(-8\right)}$$

Vynásobte číslo 2 číslom -8.

$$x=\frac{22±18}{-16}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{22±18}{-16}, keď ± je plus. Prirátajte 22 ku 18.

$$x=\frac{40}{-16}$$

Vykráťte zlomok \frac{40}{-16} na základný tvar extrakciou a elimináciou 8.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{22±18}{-16}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 18 od čísla 22.

$$x=\frac{4}{-16}$$

Vykráťte zlomok \frac{4}{-16} na základný tvar extrakciou a elimináciou 4.

$$x=-\frac{1}{4}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=-\frac{5}{2} x=-\frac{1}{4}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Na rozloženie výrazu \left(x-2\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$x^{2}-4x+4-9\left(x+1\right)^{2}=0$$

Na rozloženie výrazu \left(x+1\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x^{2}-4x+4-9\left(x^{2}+2x+1\right)=0$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie -9 a x^{2}+2x+1.

$$x^{2}-4x+4-9x^{2}-18x-9=0$$

Skombinovaním x^{2} a -9x^{2} získate -8x^{2}.

$$-8x^{2}-4x+4-18x-9=0$$

Skombinovaním -4x a -18x získate -22x.

$$-8x^{2}-22x+4-9=0$$

Odčítajte 9 z 4 a dostanete -5.

$$-8x^{2}-22x-5=0$$

Pridať položku 5 na obidve snímky. Prirátaním nuly sa hodnota nezmení.

$$-8x^{2}-22x=5$$

Vydeľte obe strany hodnotou -8.

$$\frac{-8x^{2}-22x}{-8}=\frac{5}{-8}$$

Delenie číslom -8 ruší násobenie číslom -8.

$$x^{2}+\left(-\frac{22}{-8}\right)x=\frac{5}{-8}$$

Vykráťte zlomok \frac{-22}{-8} na základný tvar extrakciou a elimináciou 2.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x=\frac{5}{-8}$$

Vydeľte číslo 5 číslom -8.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x=-\frac{5}{8}$$

Číslo \frac{11}{4}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok \frac{11}{8}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu \frac{11}{8}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x+\left(\frac{11}{8}\right)^{2}=-\frac{5}{8}+\left(\frac{11}{8}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok \frac{11}{8} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=-\frac{5}{8}+\frac{121}{64}$$

Prirátajte -\frac{5}{8} ku \frac{121}{64} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=\frac{81}{64}$$

Rozložte x^{2}+\frac{11}{4}x+\frac{121}{64} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{8}\right)^{2}=\frac{81}{64}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{64}}$$

Zjednodušte.

$$x+\frac{11}{8}=\frac{9}{8} x+\frac{11}{8}=-\frac{9}{8}$$

Odčítajte hodnotu \frac{11}{8} od oboch strán rovnice.

$$x=-\frac{1}{4} x=-\frac{5}{2}$$