Vyriešiť (x-1)^2<3

$$( x - 1 ) ^ { 2 } < 3$$

Riešenie pre x

$$x\in \left(1-\sqrt{3},\sqrt{3}+1\right)$$

Postup riešenia

Ak chcete nerovnosť vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory. Kvadratický mnohočlen možno rozložiť na faktory použitím transformácie ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), pričom x_{1} a x_{2} sú riešeniami kvadratickej rovnice ax^{2}+bx+c=0.

$$\left(x-1\right)^{2}=0$$

Všetky rovnice vo formulári ax^{2}+bx+c=0 je možné riešiť pomocou vzorca pre kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V kvadratickej rovnici nahraďte 1 výrazom a, -2 výrazom b a -2 výrazom c.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\left(-2\right)}}{2}$$

Urobte výpočty.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}, ak ± je plus a ak ± je mínus.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Zapíšte nerovnosť pomocou získaných riešení.

$$\left(x-\left(\sqrt{3}+1\right)\right)\left(x-\left(1-\sqrt{3}\right)\right)<0$$

Ak má byť výsledok súčinu záporný, výrazy x-\left(\sqrt{3}+1\right) a x-\left(1-\sqrt{3}\right) musia mať opačné znamienka. Zvážte, aký bude výsledok, ak je výraz x-\left(\sqrt{3}+1\right) kladný a výraz x-\left(1-\sqrt{3}\right) záporný.

$$x-\left(\sqrt{3}+1\right)>0 x-\left(1-\sqrt{3}\right)<0$$

Toto má hodnotu False pre každú premennú x.

$$x\in \emptyset$$

Zvážte, aký bude výsledok, ak je výraz x-\left(1-\sqrt{3}\right) kladný a výraz x-\left(\sqrt{3}+1\right) záporný.

$$x-\left(1-\sqrt{3}\right)>0 x-\left(\sqrt{3}+1\right)<0$$

Riešenie, ktoré platí pre obe nerovnosti, je x\in \left(1-\sqrt{3},\sqrt{3}+1\right).

$$x\in \left(1-\sqrt{3},\sqrt{3}+1\right)$$

Konečné riešenie získame kombináciou oboch získaných riešení.

$$x\in \left(1-\sqrt{3},\sqrt{3}+1\right)$$