Vyriešiť (x-1)^2+(2x+2)^2=16

$$( x - 1 ) ^ { 2 } + ( 2 x + 2 ) ^ { 2 } = 16$$

Riešenie pre x

$$x = -\frac{11}{5} = -2\frac{1}{5} = -2,2$$

$$x=1$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Na rozloženie výrazu \left(x-1\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$x^{2}-2x+1+\left(2x+2\right)^{2}=16$$

Na rozloženie výrazu \left(2x+2\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x^{2}-2x+1+4x^{2}+8x+4=16$$

Skombinovaním x^{2} a 4x^{2} získate 5x^{2}.

$$5x^{2}-2x+1+8x+4=16$$

Skombinovaním -2x a 8x získate 6x.

$$5x^{2}+6x+1+4=16$$

Sčítaním 1 a 4 získate 5.

$$5x^{2}+6x+5=16$$

Odčítajte 16 z oboch strán.

$$5x^{2}+6x+5-16=0$$

Odčítajte 16 z 5 a dostanete -11.

$$5x^{2}+6x-11=0$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare 5x^{2}+ax+bx-11. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=6 ab=5\left(-11\right)=-55$$

Keďže ab je záporná, a a b majú protiľahlom značky. Keďže a+b je kladná hodnota, kladné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako záporné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -55.

$$-1,55 -5,11$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$-1+55=54 -5+11=6$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje 6 súčtu.

$$a=-5 b=11$$

Zapíšte 5x^{2}+6x-11 ako výraz \left(5x^{2}-5x\right)+\left(11x-11\right).

$$\left(5x^{2}-5x\right)+\left(11x-11\right)$$

5x na prvej skupine a 11 v druhá skupina.

$$5x\left(x-1\right)+11\left(x-1\right)$$

Vyberte spoločný člen x-1 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(x-1\right)\left(5x+11\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte x-1=0 a 5x+11=0.

$$x=1 x=-\frac{11}{5}$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Na rozloženie výrazu \left(x-1\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$x^{2}-2x+1+\left(2x+2\right)^{2}=16$$

Na rozloženie výrazu \left(2x+2\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x^{2}-2x+1+4x^{2}+8x+4=16$$

Skombinovaním x^{2} a 4x^{2} získate 5x^{2}.

$$5x^{2}-2x+1+8x+4=16$$

Skombinovaním -2x a 8x získate 6x.

$$5x^{2}+6x+1+4=16$$

Sčítaním 1 a 4 získate 5.

$$5x^{2}+6x+5=16$$

Odčítajte 16 z oboch strán.

$$5x^{2}+6x+5-16=0$$

Odčítajte 16 z 5 a dostanete -11.

$$5x^{2}+6x-11=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 5 za a, 6 za b a -11 za c.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 5\left(-11\right)}}{2\times 5}$$

Umocnite číslo 6.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 5\left(-11\right)}}{2\times 5}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 5.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-20\left(-11\right)}}{2\times 5}$$

Vynásobte číslo -20 číslom -11.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+220}}{2\times 5}$$

Prirátajte 36 ku 220.

$$x=\frac{-6±\sqrt{256}}{2\times 5}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 256.

$$x=\frac{-6±16}{2\times 5}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 5.

$$x=\frac{-6±16}{10}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-6±16}{10}, keď ± je plus. Prirátajte -6 ku 16.

$$x=\frac{10}{10}$$

Vydeľte číslo 10 číslom 10.

$$x=1$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-6±16}{10}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 16 od čísla -6.

$$x=-\frac{22}{10}$$

Vykráťte zlomok \frac{-22}{10} na základný tvar extrakciou a elimináciou 2.

$$x=-\frac{11}{5}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=1 x=-\frac{11}{5}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Na rozloženie výrazu \left(x-1\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$x^{2}-2x+1+\left(2x+2\right)^{2}=16$$

Na rozloženie výrazu \left(2x+2\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x^{2}-2x+1+4x^{2}+8x+4=16$$

Skombinovaním x^{2} a 4x^{2} získate 5x^{2}.

$$5x^{2}-2x+1+8x+4=16$$

Skombinovaním -2x a 8x získate 6x.

$$5x^{2}+6x+1+4=16$$

Sčítaním 1 a 4 získate 5.

$$5x^{2}+6x+5=16$$

Odčítajte 5 z oboch strán.

$$5x^{2}+6x=16-5$$

Odčítajte 5 z 16 a dostanete 11.

$$5x^{2}+6x=11$$

Vydeľte obe strany hodnotou 5.

$$\frac{5x^{2}+6x}{5}=\frac{11}{5}$$

Delenie číslom 5 ruší násobenie číslom 5.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=\frac{11}{5}$$

Číslo \frac{6}{5}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok \frac{3}{5}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu \frac{3}{5}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{11}{5}+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok \frac{3}{5} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{11}{5}+\frac{9}{25}$$

Prirátajte \frac{11}{5} ku \frac{9}{25} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{64}{25}$$

Rozložte x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{64}{25}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{25}}$$

Zjednodušte.

$$x+\frac{3}{5}=\frac{8}{5} x+\frac{3}{5}=-\frac{8}{5}$$

Odčítajte hodnotu \frac{3}{5} od oboch strán rovnice.

$$x=1 x=-\frac{11}{5}$$