Vyriešiť (x^2+3x-2)(x^2+3x+4)=16

$$( x ^ { 2 } + 3 x - 2 ) ( x ^ { 2 } + 3 x + 4 ) = 16$$

Riešenie pre x (complex solution)

$$x=1$$

$$x=-4$$

$$x=\frac{-3+\sqrt{15}i}{2}\approx -1,5+1,936491673i$$

$$x=\frac{-\sqrt{15}i-3}{2}\approx -1,5-1,936491673i$$

Postup riešenia

Použite distributívny zákon na vynásobenie výrazov x^{2}+3x-2 a x^{2}+3x+4 a zlúčenie podobných členov.

$$x^{4}+6x^{3}+11x^{2}+6x-8=16$$

Odčítajte 16 z oboch strán.

$$x^{4}+6x^{3}+11x^{2}+6x-8-16=0$$

Odčítajte 16 z -8 a dostanete -24.

$$x^{4}+6x^{3}+11x^{2}+6x-24=0$$

Podľa pravidla racionálnych koreňov sú všetky racionálne korene polynómu v tvare \frac{p}{q}, kde p je deliteľom konštantného výrazu -24 a q je deliteľom vedúceho koeficientu 1. Uveďte zoznam všetkých kandidátov \frac{p}{q}.

$$±24,±12,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

Nájdite jeden takýto koreň vyskúšaným všetkých celočíselných hodnôt, pričom začnite číslom s najmenšou absolútnou hodnotou. Ak sa nenájdu žiadne celočíselné korene, vyskúšajte zlomky.

$$x=1$$

Podľa pravidla rozkladu na činitele je x-k faktor polynómu pre každý koreň k. Vydeľte číslo x^{4}+6x^{3}+11x^{2}+6x-24 číslom x-1 a dostanete x^{3}+7x^{2}+18x+24. Vyriešte rovnicu, kde sa výsledok rovná 0.

$$x^{3}+7x^{2}+18x+24=0$$

Podľa pravidla racionálnych koreňov sú všetky racionálne korene polynómu v tvare \frac{p}{q}, kde p je deliteľom konštantného výrazu 24 a q je deliteľom vedúceho koeficientu 1. Uveďte zoznam všetkých kandidátov \frac{p}{q}.

$$±24,±12,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

Nájdite jeden takýto koreň vyskúšaným všetkých celočíselných hodnôt, pričom začnite číslom s najmenšou absolútnou hodnotou. Ak sa nenájdu žiadne celočíselné korene, vyskúšajte zlomky.

$$x=-4$$

Podľa pravidla rozkladu na činitele je x-k faktor polynómu pre každý koreň k. Vydeľte číslo x^{3}+7x^{2}+18x+24 číslom x+4 a dostanete x^{2}+3x+6. Vyriešte rovnicu, kde sa výsledok rovná 0.

$$x^{2}+3x+6=0$$

Všetky rovnice vo formulári ax^{2}+bx+c=0 je možné riešiť pomocou vzorca pre kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V kvadratickej rovnici nahraďte 1 výrazom a, 3 výrazom b a 6 výrazom c.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 1\times 6}}{2}$$

Urobte výpočty.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-15}}{2}$$

Vyriešte rovnicu x^{2}+3x+6=0, ak ± je plus a ak ± je mínus.

$$x=\frac{-\sqrt{15}i-3}{2} x=\frac{-3+\sqrt{15}i}{2}$$

Uveďte všetky nájdené riešenia.

$$x=1 x=-4 x=\frac{-\sqrt{15}i-3}{2} x=\frac{-3+\sqrt{15}i}{2}$$

Riešenie pre x

$$x=-4$$

$$x=1$$

Postup riešenia

Použite distributívny zákon na vynásobenie výrazov x^{2}+3x-2 a x^{2}+3x+4 a zlúčenie podobných členov.

$$x^{4}+6x^{3}+11x^{2}+6x-8=16$$

Odčítajte 16 z oboch strán.

$$x^{4}+6x^{3}+11x^{2}+6x-8-16=0$$

Odčítajte 16 z -8 a dostanete -24.

$$x^{4}+6x^{3}+11x^{2}+6x-24=0$$

Podľa pravidla racionálnych koreňov sú všetky racionálne korene polynómu v tvare \frac{p}{q}, kde p je deliteľom konštantného výrazu -24 a q je deliteľom vedúceho koeficientu 1. Uveďte zoznam všetkých kandidátov \frac{p}{q}.

$$±24,±12,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

Nájdite jeden takýto koreň vyskúšaným všetkých celočíselných hodnôt, pričom začnite číslom s najmenšou absolútnou hodnotou. Ak sa nenájdu žiadne celočíselné korene, vyskúšajte zlomky.

$$x=1$$

Podľa pravidla rozkladu na činitele je x-k faktor polynómu pre každý koreň k. Vydeľte číslo x^{4}+6x^{3}+11x^{2}+6x-24 číslom x-1 a dostanete x^{3}+7x^{2}+18x+24. Vyriešte rovnicu, kde sa výsledok rovná 0.

$$x^{3}+7x^{2}+18x+24=0$$

Podľa pravidla racionálnych koreňov sú všetky racionálne korene polynómu v tvare \frac{p}{q}, kde p je deliteľom konštantného výrazu 24 a q je deliteľom vedúceho koeficientu 1. Uveďte zoznam všetkých kandidátov \frac{p}{q}.

$$±24,±12,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

Nájdite jeden takýto koreň vyskúšaným všetkých celočíselných hodnôt, pričom začnite číslom s najmenšou absolútnou hodnotou. Ak sa nenájdu žiadne celočíselné korene, vyskúšajte zlomky.

$$x=-4$$

Podľa pravidla rozkladu na činitele je x-k faktor polynómu pre každý koreň k. Vydeľte číslo x^{3}+7x^{2}+18x+24 číslom x+4 a dostanete x^{2}+3x+6. Vyriešte rovnicu, kde sa výsledok rovná 0.

$$x^{2}+3x+6=0$$

Všetky rovnice vo formulári ax^{2}+bx+c=0 je možné riešiť pomocou vzorca pre kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V kvadratickej rovnici nahraďte 1 výrazom a, 3 výrazom b a 6 výrazom c.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 1\times 6}}{2}$$

Urobte výpočty.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-15}}{2}$$

Keďže druhá odmocnina záporného čísla nie je definovaná v poli reálnych čísel, neexistujú žiadne riešenia.

$$x\in \emptyset$$

Uveďte všetky nájdené riešenia.

$$x=1 x=-4$$