Vyriešiť (x+6)-(3x+1)^2=1

$$( x + 6 ) - ( 3 x + 1 ) ^ { 2 } = 1$$

Riešenie pre x

$$x=-1$$

$$x=\frac{4}{9}\approx 0,444444444$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Na rozloženie výrazu \left(3x+1\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x+6-\left(9x^{2}+6x+1\right)=1$$

Ak chcete nájsť opačnú hodnotu k výrazu 9x^{2}+6x+1, nájdite opačnú hodnotu jednotlivých členov.

$$x+6-9x^{2}-6x-1=1$$

Skombinovaním x a -6x získate -5x.

$$-5x+6-9x^{2}-1=1$$

Odčítajte 1 z 6 a dostanete 5.

$$-5x+5-9x^{2}=1$$

Odčítajte 1 z oboch strán.

$$-5x+5-9x^{2}-1=0$$

Odčítajte 1 z 5 a dostanete 4.

$$-5x+4-9x^{2}=0$$

Zmeňte usporiadanie polynomickej rovnice do štandardného tvaru. Členy zoraďte od najväčšieho po najmenší.

$$-9x^{2}-5x+4=0$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare -9x^{2}+ax+bx+4. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=-5 ab=-9\times 4=-36$$

Keďže ab je záporná, a a b majú protiľahlom značky. Keďže a+b je záporná hodnota, záporné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako kladné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -36.

$$1,-36 2,-18 3,-12 4,-9 6,-6$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$1-36=-35 2-18=-16 3-12=-9 4-9=-5 6-6=0$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje -5 súčtu.

$$a=4 b=-9$$

Zapíšte -9x^{2}-5x+4 ako výraz \left(-9x^{2}+4x\right)+\left(-9x+4\right).

$$\left(-9x^{2}+4x\right)+\left(-9x+4\right)$$

-x na prvej skupine a -1 v druhá skupina.

$$-x\left(9x-4\right)-\left(9x-4\right)$$

Vyberte spoločný člen 9x-4 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(9x-4\right)\left(-x-1\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte 9x-4=0 a -x-1=0.

$$x=\frac{4}{9} x=-1$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Na rozloženie výrazu \left(3x+1\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x+6-\left(9x^{2}+6x+1\right)=1$$

Ak chcete nájsť opačnú hodnotu k výrazu 9x^{2}+6x+1, nájdite opačnú hodnotu jednotlivých členov.

$$x+6-9x^{2}-6x-1=1$$

Skombinovaním x a -6x získate -5x.

$$-5x+6-9x^{2}-1=1$$

Odčítajte 1 z 6 a dostanete 5.

$$-5x+5-9x^{2}=1$$

Odčítajte 1 z oboch strán.

$$-5x+5-9x^{2}-1=0$$

Odčítajte 1 z 5 a dostanete 4.

$$-5x+4-9x^{2}=0$$

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$-9x^{2}-5x+4=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte -9 za a, -5 za b a 4 za c.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\left(-9\right)\times 4}}{2\left(-9\right)}$$

Umocnite číslo -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\left(-9\right)\times 4}}{2\left(-9\right)}$$

Vynásobte číslo -4 číslom -9.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+36\times 4}}{2\left(-9\right)}$$

Vynásobte číslo 36 číslom 4.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+144}}{2\left(-9\right)}$$

Prirátajte 25 ku 144.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{169}}{2\left(-9\right)}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 169.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±13}{2\left(-9\right)}$$

Opak čísla -5 je 5.

$$x=\frac{5±13}{2\left(-9\right)}$$

Vynásobte číslo 2 číslom -9.

$$x=\frac{5±13}{-18}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{5±13}{-18}, keď ± je plus. Prirátajte 5 ku 13.

$$x=\frac{18}{-18}$$

Vydeľte číslo 18 číslom -18.

$$x=-1$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{5±13}{-18}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 13 od čísla 5.

$$x=-\frac{8}{-18}$$

Vykráťte zlomok \frac{-8}{-18} na základný tvar extrakciou a elimináciou 2.

$$x=\frac{4}{9}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=-1 x=\frac{4}{9}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Na rozloženie výrazu \left(3x+1\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x+6-\left(9x^{2}+6x+1\right)=1$$

Ak chcete nájsť opačnú hodnotu k výrazu 9x^{2}+6x+1, nájdite opačnú hodnotu jednotlivých členov.

$$x+6-9x^{2}-6x-1=1$$

Skombinovaním x a -6x získate -5x.

$$-5x+6-9x^{2}-1=1$$

Odčítajte 1 z 6 a dostanete 5.

$$-5x+5-9x^{2}=1$$

Odčítajte 5 z oboch strán.

$$-5x-9x^{2}=1-5$$

Odčítajte 5 z 1 a dostanete -4.

$$-5x-9x^{2}=-4$$

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$-9x^{2}-5x=-4$$

Vydeľte obe strany hodnotou -9.

$$\frac{-9x^{2}-5x}{-9}=-\frac{4}{-9}$$

Delenie číslom -9 ruší násobenie číslom -9.

$$x^{2}+\left(-\frac{5}{-9}\right)x=-\frac{4}{-9}$$

Vydeľte číslo -5 číslom -9.

$$x^{2}+\frac{5}{9}x=-\frac{4}{-9}$$

Vydeľte číslo -4 číslom -9.

$$x^{2}+\frac{5}{9}x=\frac{4}{9}$$

Číslo \frac{5}{9}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok \frac{5}{18}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu \frac{5}{18}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}+\frac{5}{9}x+\left(\frac{5}{18}\right)^{2}=\frac{4}{9}+\left(\frac{5}{18}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok \frac{5}{18} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}+\frac{5}{9}x+\frac{25}{324}=\frac{4}{9}+\frac{25}{324}$$

Prirátajte \frac{4}{9} ku \frac{25}{324} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}+\frac{5}{9}x+\frac{25}{324}=\frac{169}{324}$$

Rozložte x^{2}+\frac{5}{9}x+\frac{25}{324} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{18}\right)^{2}=\frac{169}{324}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{324}}$$

Zjednodušte.

$$x+\frac{5}{18}=\frac{13}{18} x+\frac{5}{18}=-\frac{13}{18}$$

Odčítajte hodnotu \frac{5}{18} od oboch strán rovnice.

$$x=\frac{4}{9} x=-1$$