Vyriešiť (x+4)^2+(x+6)^2=100

$$( x + 4 ) ^ { 2 } + ( x + 6 ) ^ { 2 } = 100$$

Riešenie pre x

$$x=-12$$

$$x=2$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Na rozloženie výrazu \left(x+4\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x^{2}+8x+16+\left(x+6\right)^{2}=100$$

Na rozloženie výrazu \left(x+6\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x^{2}+8x+16+x^{2}+12x+36=100$$

Skombinovaním x^{2} a x^{2} získate 2x^{2}.

$$2x^{2}+8x+16+12x+36=100$$

Skombinovaním 8x a 12x získate 20x.

$$2x^{2}+20x+16+36=100$$

Sčítaním 16 a 36 získate 52.

$$2x^{2}+20x+52=100$$

Odčítajte 100 z oboch strán.

$$2x^{2}+20x+52-100=0$$

Odčítajte 100 z 52 a dostanete -48.

$$2x^{2}+20x-48=0$$

Vydeľte obe strany hodnotou 2.

$$x^{2}+10x-24=0$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare x^{2}+ax+bx-24. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=10 ab=1\left(-24\right)=-24$$

Keďže ab je záporná, a a b majú protiľahlom značky. Keďže a+b je kladná hodnota, kladné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako záporné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -24.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje 10 súčtu.

$$a=-2 b=12$$

Zapíšte x^{2}+10x-24 ako výraz \left(x^{2}-2x\right)+\left(12x-24\right).

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(12x-24\right)$$

x na prvej skupine a 12 v druhá skupina.

$$x\left(x-2\right)+12\left(x-2\right)$$

Vyberte spoločný člen x-2 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(x-2\right)\left(x+12\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte x-2=0 a x+12=0.

$$x=2 x=-12$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Na rozloženie výrazu \left(x+4\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x^{2}+8x+16+\left(x+6\right)^{2}=100$$

Na rozloženie výrazu \left(x+6\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x^{2}+8x+16+x^{2}+12x+36=100$$

Skombinovaním x^{2} a x^{2} získate 2x^{2}.

$$2x^{2}+8x+16+12x+36=100$$

Skombinovaním 8x a 12x získate 20x.

$$2x^{2}+20x+16+36=100$$

Sčítaním 16 a 36 získate 52.

$$2x^{2}+20x+52=100$$

Odčítajte 100 z oboch strán.

$$2x^{2}+20x+52-100=0$$

Odčítajte 100 z 52 a dostanete -48.

$$2x^{2}+20x-48=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 2 za a, 20 za b a -48 za c.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\times 2\left(-48\right)}}{2\times 2}$$

Umocnite číslo 20.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\times 2\left(-48\right)}}{2\times 2}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 2.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-8\left(-48\right)}}{2\times 2}$$

Vynásobte číslo -8 číslom -48.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+384}}{2\times 2}$$

Prirátajte 400 ku 384.

$$x=\frac{-20±\sqrt{784}}{2\times 2}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 784.

$$x=\frac{-20±28}{2\times 2}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 2.

$$x=\frac{-20±28}{4}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-20±28}{4}, keď ± je plus. Prirátajte -20 ku 28.

$$x=\frac{8}{4}$$

Vydeľte číslo 8 číslom 4.

$$x=2$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-20±28}{4}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 28 od čísla -20.

$$x=-\frac{48}{4}$$

Vydeľte číslo -48 číslom 4.

$$x=-12$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=2 x=-12$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Na rozloženie výrazu \left(x+4\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x^{2}+8x+16+\left(x+6\right)^{2}=100$$

Na rozloženie výrazu \left(x+6\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x^{2}+8x+16+x^{2}+12x+36=100$$

Skombinovaním x^{2} a x^{2} získate 2x^{2}.

$$2x^{2}+8x+16+12x+36=100$$

Skombinovaním 8x a 12x získate 20x.

$$2x^{2}+20x+16+36=100$$

Sčítaním 16 a 36 získate 52.

$$2x^{2}+20x+52=100$$

Odčítajte 52 z oboch strán.

$$2x^{2}+20x=100-52$$

Odčítajte 52 z 100 a dostanete 48.

$$2x^{2}+20x=48$$

Vydeľte obe strany hodnotou 2.

$$\frac{2x^{2}+20x}{2}=\frac{48}{2}$$

Delenie číslom 2 ruší násobenie číslom 2.

$$x^{2}+\frac{20}{2}x=\frac{48}{2}$$

Vydeľte číslo 20 číslom 2.

$$x^{2}+10x=\frac{48}{2}$$

Vydeľte číslo 48 číslom 2.

$$x^{2}+10x=24$$

Číslo 10, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok 5. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu 5. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}+10x+5^{2}=24+5^{2}$$

Umocnite číslo 5.

$$x^{2}+10x+25=24+25$$

Prirátajte 24 ku 25.

$$x^{2}+10x+25=49$$

Rozložte x^{2}+10x+25 na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+5\right)^{2}=49$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x+5\right)^{2}}=\sqrt{49}$$

Zjednodušte.

$$x+5=7 x+5=-7$$

Odčítajte hodnotu 5 od oboch strán rovnice.

$$x=2 x=-12$$