Vyriešiť (x+3)^2-(2x-1)^2=16

$$( x + 3 ) ^ { 2 } - ( 2 x - 1 ) ^ { 2 } = 16$$

Riešenie pre x

$$x=2$$

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Na rozloženie výrazu \left(x+3\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x^{2}+6x+9-\left(2x-1\right)^{2}=16$$

Na rozloženie výrazu \left(2x-1\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$x^{2}+6x+9-\left(4x^{2}-4x+1\right)=16$$

Ak chcete nájsť opačnú hodnotu k výrazu 4x^{2}-4x+1, nájdite opačnú hodnotu jednotlivých členov.

$$x^{2}+6x+9-4x^{2}+4x-1=16$$

Skombinovaním x^{2} a -4x^{2} získate -3x^{2}.

$$-3x^{2}+6x+9+4x-1=16$$

Skombinovaním 6x a 4x získate 10x.

$$-3x^{2}+10x+9-1=16$$

Odčítajte 1 z 9 a dostanete 8.

$$-3x^{2}+10x+8=16$$

Odčítajte 16 z oboch strán.

$$-3x^{2}+10x+8-16=0$$

Odčítajte 16 z 8 a dostanete -8.

$$-3x^{2}+10x-8=0$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare -3x^{2}+ax+bx-8. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=10 ab=-3\left(-8\right)=24$$

Keďže ab je kladné, a a b majú rovnaký znak. Keďže a+b je kladné, a a b sú oba kladné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin 24.

$$1,24 2,12 3,8 4,6$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$1+24=25 2+12=14 3+8=11 4+6=10$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje 10 súčtu.

$$a=6 b=4$$

Zapíšte -3x^{2}+10x-8 ako výraz \left(-3x^{2}+6x\right)+\left(4x-8\right).

$$\left(-3x^{2}+6x\right)+\left(4x-8\right)$$

3x na prvej skupine a -4 v druhá skupina.

$$3x\left(-x+2\right)-4\left(-x+2\right)$$

Vyberte spoločný člen -x+2 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(-x+2\right)\left(3x-4\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte -x+2=0 a 3x-4=0.

$$x=2 x=\frac{4}{3}$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Na rozloženie výrazu \left(x+3\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x^{2}+6x+9-\left(2x-1\right)^{2}=16$$

Na rozloženie výrazu \left(2x-1\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$x^{2}+6x+9-\left(4x^{2}-4x+1\right)=16$$

Ak chcete nájsť opačnú hodnotu k výrazu 4x^{2}-4x+1, nájdite opačnú hodnotu jednotlivých členov.

$$x^{2}+6x+9-4x^{2}+4x-1=16$$

Skombinovaním x^{2} a -4x^{2} získate -3x^{2}.

$$-3x^{2}+6x+9+4x-1=16$$

Skombinovaním 6x a 4x získate 10x.

$$-3x^{2}+10x+9-1=16$$

Odčítajte 1 z 9 a dostanete 8.

$$-3x^{2}+10x+8=16$$

Odčítajte 16 z oboch strán.

$$-3x^{2}+10x+8-16=0$$

Odčítajte 16 z 8 a dostanete -8.

$$-3x^{2}+10x-8=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte -3 za a, 10 za b a -8 za c.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\left(-3\right)\left(-8\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Umocnite číslo 10.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\left(-3\right)\left(-8\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Vynásobte číslo -4 číslom -3.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+12\left(-8\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Vynásobte číslo 12 číslom -8.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-96}}{2\left(-3\right)}$$

Prirátajte 100 ku -96.

$$x=\frac{-10±\sqrt{4}}{2\left(-3\right)}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 4.

$$x=\frac{-10±2}{2\left(-3\right)}$$

Vynásobte číslo 2 číslom -3.

$$x=\frac{-10±2}{-6}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-10±2}{-6}, keď ± je plus. Prirátajte -10 ku 2.

$$x=-\frac{8}{-6}$$

Vykráťte zlomok \frac{-8}{-6} na základný tvar extrakciou a elimináciou 2.

$$x=\frac{4}{3}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-10±2}{-6}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 2 od čísla -10.

$$x=-\frac{12}{-6}$$

Vydeľte číslo -12 číslom -6.

$$x=2$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{4}{3} x=2$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Na rozloženie výrazu \left(x+3\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x^{2}+6x+9-\left(2x-1\right)^{2}=16$$

Na rozloženie výrazu \left(2x-1\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$x^{2}+6x+9-\left(4x^{2}-4x+1\right)=16$$

Ak chcete nájsť opačnú hodnotu k výrazu 4x^{2}-4x+1, nájdite opačnú hodnotu jednotlivých členov.

$$x^{2}+6x+9-4x^{2}+4x-1=16$$

Skombinovaním x^{2} a -4x^{2} získate -3x^{2}.

$$-3x^{2}+6x+9+4x-1=16$$

Skombinovaním 6x a 4x získate 10x.

$$-3x^{2}+10x+9-1=16$$

Odčítajte 1 z 9 a dostanete 8.

$$-3x^{2}+10x+8=16$$

Odčítajte 8 z oboch strán.

$$-3x^{2}+10x=16-8$$

Odčítajte 8 z 16 a dostanete 8.

$$-3x^{2}+10x=8$$

Vydeľte obe strany hodnotou -3.

$$\frac{-3x^{2}+10x}{-3}=\frac{8}{-3}$$

Delenie číslom -3 ruší násobenie číslom -3.

$$x^{2}+\frac{10}{-3}x=\frac{8}{-3}$$

Vydeľte číslo 10 číslom -3.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=\frac{8}{-3}$$

Vydeľte číslo 8 číslom -3.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=-\frac{8}{3}$$

Číslo -\frac{10}{3}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{5}{3}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{5}{3}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}=-\frac{8}{3}+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{5}{3} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=-\frac{8}{3}+\frac{25}{9}$$

Prirátajte -\frac{8}{3} ku \frac{25}{9} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{1}{9}$$

Rozložte x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{5}{3}=\frac{1}{3} x-\frac{5}{3}=-\frac{1}{3}$$

Prirátajte \frac{5}{3} ku obom stranám rovnice.

$$x=2 x=\frac{4}{3}$$