Vyriešiť (9-5x)^2+2(9-5x)^2-24<0

$$( 9 - 5 x ) ^ { 2 } + 2 ( 9 - 5 x ) ^ { 2 } - 24 < 0$$

Riešenie pre x

$$x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Na rozloženie výrazu \left(9-5x\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$81-90x+25x^{2}+2\left(9-5x\right)^{2}-24<0$$

Na rozloženie výrazu \left(9-5x\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$81-90x+25x^{2}+2\left(81-90x+25x^{2}\right)-24<0$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 2 a 81-90x+25x^{2}.

$$81-90x+25x^{2}+162-180x+50x^{2}-24<0$$

Sčítaním 81 a 162 získate 243.

$$243-90x+25x^{2}-180x+50x^{2}-24<0$$

Skombinovaním -90x a -180x získate -270x.

$$243-270x+25x^{2}+50x^{2}-24<0$$

Skombinovaním 25x^{2} a 50x^{2} získate 75x^{2}.

$$243-270x+75x^{2}-24<0$$

Odčítajte 24 z 243 a dostanete 219.

$$219-270x+75x^{2}<0$$

Ak chcete nerovnosť vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory. Kvadratický mnohočlen možno rozložiť na faktory použitím transformácie ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), pričom x_{1} a x_{2} sú riešeniami kvadratickej rovnice ax^{2}+bx+c=0.

$$219-270x+75x^{2}=0$$

Všetky rovnice vo formulári ax^{2}+bx+c=0 je možné riešiť pomocou vzorca pre kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V kvadratickej rovnici nahraďte 75 výrazom a, -270 výrazom b a 219 výrazom c.

$$x=\frac{-\left(-270\right)±\sqrt{\left(-270\right)^{2}-4\times 75\times 219}}{2\times 75}$$

Urobte výpočty.

$$x=\frac{270±60\sqrt{2}}{150}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{270±60\sqrt{2}}{150}, ak ± je plus a ak ± je mínus.

$$x=\frac{2\sqrt{2}+9}{5} x=\frac{9-2\sqrt{2}}{5}$$

Zapíšte nerovnosť pomocou získaných riešení.

$$75\left(x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)\left(x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5}\right)<0$$

Ak má byť výsledok súčinu záporný, výrazy x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5} a x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5} musia mať opačné znamienka. Zvážte, aký bude výsledok, ak je výraz x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5} kladný a výraz x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5} záporný.

$$x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5}>0 x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5}<0$$

Toto má hodnotu False pre každú premennú x.

$$x\in \emptyset$$

Zvážte, aký bude výsledok, ak je výraz x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5} kladný a výraz x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5} záporný.

$$x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5}>0 x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5}<0$$

Riešenie, ktoré platí pre obe nerovnosti, je x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right).

$$x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)$$

Konečné riešenie získame kombináciou oboch získaných riešení.

$$x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)$$