Vyriešiť (5x-2)^2-(2x-1)(2x+1)=47+x

$$( 5 x - 2 ) ^ { 2 } - ( 2 x - 1 ) ( 2 x + 1 ) = 47 + x$$

Riešenie pre x

$$x=-1$$

$$x=2$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Na rozloženie výrazu \left(5x-2\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

Zvážte \left(2x-1\right)\left(2x+1\right). Násobenie je možné vyjadriť rôznymi mocninami pomocou pravidla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Umocnite číslo 1.

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

Rozšírte exponent \left(2x\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla 2 a dostanete 4.

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

Ak chcete nájsť opačnú hodnotu k výrazu 4x^{2}-1, nájdite opačnú hodnotu jednotlivých členov.

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

Skombinovaním 25x^{2} a -4x^{2} získate 21x^{2}.

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

Sčítaním 4 a 1 získate 5.

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

Odčítajte 47 z oboch strán.

$$21x^{2}-20x+5-47=x$$

Odčítajte 47 z 5 a dostanete -42.

$$21x^{2}-20x-42=x$$

Odčítajte x z oboch strán.

$$21x^{2}-20x-42-x=0$$

Skombinovaním -20x a -x získate -21x.

$$21x^{2}-21x-42=0$$

Vydeľte obe strany hodnotou 21.

$$x^{2}-x-2=0$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare x^{2}+ax+bx-2. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=-1 ab=1\left(-2\right)=-2$$

Keďže ab je záporná, a a b majú protiľahlom značky. Keďže a+b je záporná hodnota, záporné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako kladné. Jedinou takou dvojicou je systémové riešenie.

$$a=-2 b=1$$

Zapíšte x^{2}-x-2 ako výraz \left(x^{2}-2x\right)+\left(x-2\right).

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(x-2\right)$$

Vyčleňte x z výrazu x^{2}-2x.

$$x\left(x-2\right)+x-2$$

Vyberte spoločný člen x-2 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(x-2\right)\left(x+1\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte x-2=0 a x+1=0.

$$x=2 x=-1$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Na rozloženie výrazu \left(5x-2\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

Zvážte \left(2x-1\right)\left(2x+1\right). Násobenie je možné vyjadriť rôznymi mocninami pomocou pravidla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Umocnite číslo 1.

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

Rozšírte exponent \left(2x\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla 2 a dostanete 4.

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

Ak chcete nájsť opačnú hodnotu k výrazu 4x^{2}-1, nájdite opačnú hodnotu jednotlivých členov.

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

Skombinovaním 25x^{2} a -4x^{2} získate 21x^{2}.

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

Sčítaním 4 a 1 získate 5.

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

Odčítajte 47 z oboch strán.

$$21x^{2}-20x+5-47=x$$

Odčítajte 47 z 5 a dostanete -42.

$$21x^{2}-20x-42=x$$

Odčítajte x z oboch strán.

$$21x^{2}-20x-42-x=0$$

Skombinovaním -20x a -x získate -21x.

$$21x^{2}-21x-42=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 21 za a, -21 za b a -42 za c.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{\left(-21\right)^{2}-4\times 21\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

Umocnite číslo -21.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-4\times 21\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 21.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-84\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

Vynásobte číslo -84 číslom -42.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441+3528}}{2\times 21}$$

Prirátajte 441 ku 3528.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{3969}}{2\times 21}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 3969.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±63}{2\times 21}$$

Opak čísla -21 je 21.

$$x=\frac{21±63}{2\times 21}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 21.

$$x=\frac{21±63}{42}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{21±63}{42}, keď ± je plus. Prirátajte 21 ku 63.

$$x=\frac{84}{42}$$

Vydeľte číslo 84 číslom 42.

$$x=2$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{21±63}{42}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 63 od čísla 21.

$$x=-\frac{42}{42}$$

Vydeľte číslo -42 číslom 42.

$$x=-1$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=2 x=-1$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Na rozloženie výrazu \left(5x-2\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

Zvážte \left(2x-1\right)\left(2x+1\right). Násobenie je možné vyjadriť rôznymi mocninami pomocou pravidla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Umocnite číslo 1.

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

Rozšírte exponent \left(2x\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla 2 a dostanete 4.

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

Ak chcete nájsť opačnú hodnotu k výrazu 4x^{2}-1, nájdite opačnú hodnotu jednotlivých členov.

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

Skombinovaním 25x^{2} a -4x^{2} získate 21x^{2}.

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

Sčítaním 4 a 1 získate 5.

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

Odčítajte x z oboch strán.

$$21x^{2}-20x+5-x=47$$

Skombinovaním -20x a -x získate -21x.

$$21x^{2}-21x+5=47$$

Odčítajte 5 z oboch strán.

$$21x^{2}-21x=47-5$$

Odčítajte 5 z 47 a dostanete 42.

$$21x^{2}-21x=42$$

Vydeľte obe strany hodnotou 21.

$$\frac{21x^{2}-21x}{21}=\frac{42}{21}$$

Delenie číslom 21 ruší násobenie číslom 21.

$$x^{2}+\left(-\frac{21}{21}\right)x=\frac{42}{21}$$

Vydeľte číslo -21 číslom 21.

$$x^{2}-x=\frac{42}{21}$$

Vydeľte číslo 42 číslom 21.

$$x^{2}-x=2$$

Číslo -1, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{1}{2}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{1}{2}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=2+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{1}{2} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{4}$$

Prirátajte 2 ku \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$$

Rozložte x^{2}-x+\frac{1}{4} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$$

Prirátajte \frac{1}{2} ku obom stranám rovnice.

$$x=2 x=-1$$